Решение задач на экстремум (стр. 13 из 16)
| Деятельность учителя | Деятельность учащихся |
| I.Орг. момент. Добрый день.На прошлом занятии мы в вами начали изучать алгебраические подходы к решению задач на экстремумы. Сегодня мы рассмотрим еще один подход - использование стандартных неравенств. | Садятся. Слушают учителя,отвечают на еговопросы. |
II. Лекция. 1.Суть метода.Напомним, что для любых двух неотрицательных чисел а и в справедливо неравенство, называемое неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел (неравенство Коши):  .Важным следствием неравенства Коши является следующее: для любых двух положительных чисел а и в и любого отличного от нуля действительного числа t  ≥ 2  . Причем знак неравенства достигается в том и только том случае, когда at=b/t, т.е. t2=b/a.2.Пример решения задачи.Найти наибольшее значение функции  y=4  на интервале (-∞;  ).Решение:y=4 =  =  =2x-1+  . Так как по условию х<1/2, то 2х-1<0 и <0. Воспользуемся неравенством | at+b/t | ≥2 для случая t<0. Тогда y=2х-1+ ≤-2  , причем знак неравенства достигается тогда и только тогда, когда 2х-1= , и 2х-1<0 .И последней системы находим х=  Ответ: maxy(x)=y( )=-2 (-∞; ) | Ученики конспектируют, задают вопросыСлушают учителя, записывают решение в тетрадь, задаютвозникающие вопросы. |
| III Закрепление пройденного материала. Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи. Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске. | Учащиеся беруткарточки сзаданиями ипреступают крешению задач.Если возникаюттрудности, ониобращаются запомощью кучителю. | |
| IVПодведение итоговИтак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их применение.Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть) | Задают вопросы, которые остались непонятными. | |
| VЗапись домашнего заданияДомашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, дорешать задачи своей карточки. | Записывают. | |
Задачи предлагаемые учащимся.
I уровень сложности.
Задача 1.
Найдите прямоугольник наименьшего периметра, ограничивающий заданную площадь.
Решение.
В данном случае площадь S= xy постоянна. Следовательно, p= x+y достигает наименьшего значения, если х + у = 2
. Таким прямоугольником является квадрат со стороной , периметр его 4 .Задача 2.
Найти наименьшее значение функции у = х +
, при х > 2.Решение.
Очевидно, что
Отсюда следует, что искомое наименьшее значение получается при х-2
прих = 6, а само искомое значение равно
Задача 3.
Найти наибольшее значение функции
y=
.Решение.
Заметим, что D(y) = [0;
]. При х 
[0; ] выполнены, очевидно, неравенства х3 ≥ 0, 2 – х3 ≥0.Применим неравенство Коши :
y=
≤ 
=1.Поэтому у ≤ 1, причем знак равенства достигается, лишь если
х =1.maxy(x) = y(1) = 1.
II уровень сложности.
Задача 1.
Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 см3. Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть размеры ее, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение.
Длину стороны основания обозначим через х см., а высоту коробки – у см.(х>0, y>0). Тогда ее объем V= x2y. Учитывая, что V= 108 см3, имеем x2y = 108 => у=
.Пусть S-площадь поверхности коробки:
S= x2+4xy = x2+4x
= x2+ 
.Представим выражение для S следующим образом:
S = x2 +
+ .Произведение x2 +
+ равно 2162. Следовательно, S достигает наименьшего значения, если х2= , т.е. х3 = 216 => х =6 => y = 3.Тогда = 108 (см 2).
Задача 2.
Найти наименьшее значение функции y=32х – 1 + 4∙33 – 2х.
Решение.
Так как 3t и 4∙ 3z положительные при любых действительных значениях t и z, то, применив неравенство Коши, получим
У=32х – 1 + 4∙33 – 2х ≥ 2
=2 
=12.Таким образом, у(х) ≤ 12 при любом действительном х, причем знак равенства достигается, лишь, если
32х – 1=4∙33 – 2х
34х – 4 =4 х= 
.miny(x) = y(
) =12.Задача3.
Найти наибольшее значение функции у=4
на интервале (-∞ ; 
) .Решение.
у=4
= 
Так как по условию х<
, то 2х – 1 <0 и <0.maxy(x) = y(
) = -2 .III уровень сложности.
Задача 1.
При небрежной транспортировке рулонов типографской бумаги на их поверхности появляются трещины, в результате чего образуется так называемый бумажный срыв, идущий в отходы. Очевидно, что эти отходы тем меньше, чем меньше полная поверхность рулона при данном его объеме. Необходимо исследовать, при каком соотношении между диаметром и длиной(т.е. образующей) рулона срыв бумаги будет наименьшим.
Решение.
Задача сводится к нахождению такого соотношения между радиусом R основания и высоты Н цилиндра, чтобы при данном объеме цилиндра его полная поверхность имела наименьшее значение.
Имеем : S= 2π RH + 2π R2, H=
.Поэтому
S =
+2πR2 = 
+ + 2πR2 .