Особенности методики обучения решению текстовых задач с помощью составления уравнений в 5-6 классах (стр. 11 из 12)
Во-вторых, нужно научить школьников выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости между ними.
В-третьих, нужно научить их по условию задачи составлять пропорцию. При решении первых задач полезно подчеркнуть, что стоимость покупки определяется по формуле:
стоимость = цена · количество
и проследить, как при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз изменяется вторая величина при неизменной третьей.
Аналогичная работа с задачами проводится по формуле:
путь = скорость · время
1. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:
а) в 2 раза больше;
б) в 2 раза меньше?
2. Имеются деньги на покупку 30 карандашей.
а) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?
б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?
Наблюдения, полученные учащимся при решении задач 1,2, нужно использовать при формировании понятий прямой и обратной пропорциональности.
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Дальше, опираясь на опыт решения задач 1,2 т определения, учащиеся должны ответить на вопросы заданий 3,4,5. Здесь следует постоянно обращать их внимание на то, какие величины изменяются, а какие нет.
3. Какова зависимость между:
1) ценой одной ручки и стоимостью нескольких ручек при постоянном их количестве?
2) Количеством ручек и их стоимостью при постоянной их цене?
3) количеством ручек и их ценой при постоянной их стоимости?
4. Какова зависимость между:
1) количеством тракторов и площадью, которую они вспашут за 1 день?
2) числом дней работы и площадью, которую он вспашет?
3) количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?
5. Покупают одинаковые альбомы. Какова зависимость между количеством альбомов и стоимостью покупки?
Работу над заданиями 2,3 надо обобщить, заметив, что если три величины связаны равенством а = b · с, то при постоянном произведении множители обратно пропорциональны, а при постоянном множителе другой множитель и произведение прямо пропорциональны. Этот факт нужно рассмотреть применительно к формулам:
стоимость = цена · количество,
путь = скорость · время,
работа = производительность · время.
Перейдем к решению задач с помощью пропорций.
6. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью
80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?
Скорость (км) Время (ч)
80
340 х
В краткой записи условия задачи стрелки показывают, что скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно и то же число раз. Это число находится делением большего числа на меньшее (в направлении стрелок). Чтобы учащиеся лучше освоили прием составления пропорций, надо постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) первая величина?» Тогда число, дающее ответ, будет находиться делением большего значения величины на меньшее (в направлении стрелок). На первых порах это число должно быть целым, позднее – дробным.
7. 5 маляров могли покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор:
а) 10 маляров; б) 1 маляр?
Чтобы у учащихся не сложилось впечатление, будто зависимость бывает только двух видов – прямой и обратной пропорциональностью, полезно рассмотреть провокационных задачи, в которых зависимость имеет другой характер.
8. За 3 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 4 ч?
9. Два петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят пять петухов?
10.Трое пошли – три гвоздя нашли. Четверо пойдут – много ли найдут?
До сих пор мы рассматривали задачи, в которых отношение двух неизвестных значений одной величины было целым числом. В следующих задачах оно часто выражается дробью. Как и раньше, здесь следует постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) величина?»
11.Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 аршин сукна стоят 30 р. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?
12.Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за это же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?
13.За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик – 4 детали.
1) Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?
2) Сколько времени потратит ученик на задании, которое токарь выполняет за 1ч?
После изучения основных понятий в этих темах («Пропорции», «Прямая и обратная пропорциональности»), учащиеся решают соответствующие задачи.
Подготовительные упражнения
Рассмотрим некоторые подготовительные упражнения, которые можно давать учащимся, чтобы сформировать у них навыки и умения устанавливать зависимости между величинами.
1. Какую часть одно число составляет от другого?
а) 4 от 20; б) 7 от 15; в) 10 от 20; г) 13 от 21
2. Найдите отношения и придумайте отношения, значения которых равны заданным:
а) 25 к 5; б) 0,25 к 0,55; в) 1,37 к 1,3; г) 6 к 27
3. Что показывает отношение:
а) пути, пройденного автомобилем, ко времени его движения;
б) числа деталей ко времени из изготовления;
в) стоимости купленных апельсинов к их массе?
4. Дана пропорция, найти выражение, которое не является пропорцией, выведенной из данной:
1) а : 20 = 4 : 8
а) а : 4 = 20 : 8;
б) 8 : 20 = 4 : а;
в) 20 : а = 4 : 8;
г) 20 : а = 8 : 4.
2) 8 : 21 = b : 30
а) b : 21 = 30 : 8;
б) 8 : b = 21 : 30;
в) 8 : 30 = b : 21;
г) 8 : 21 = 30 : b.
1. Проверьте, используя основное свойство пропорции, следующие равенства. Какие из них являются пропорцией, а какие нет?
а) 4
: 3 
= 36 : 26б)
= 
в) 2
: 9 = 1 : 39г)
= 
д) 3 : 7,5 = 2,5 : 6
2. Какова зависимость между:
1) временем и скоростью движения при постоянном пути?
2) количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?
3. Установите зависимость:
1) За х кг апельсинов заплатили p рублей. Как изменится стоимость покупки, если массу апельсинов увеличили в 5 раз; уменьшили в 2 раза?
4. Расстояние от деревни до города велосипедист проехал за 3 часа.
1) За сколько часов это расстояние пройдет пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?
2) За сколько часов это расстояние пройдет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?
При решении этих задач учащиеся повторят, что такое отношение, как оно составляется, понятие пропорции, ее свойства, установление прямой или обратной пропорциональности между величинами.
Понятно, что если в задаче говорится о двух величинах, то краткая запись будет выглядеть следующим образом:
I вел. – II вел.
Изменение I вел. – II вел.
При этом проверяется зависимость первой величины от второй или наоборот. Если при увеличении / уменьшении первой величины в n раз, во столько же увеличится / уменьшится II величина, то это прямая пропорциональность.
Обозначение вводится с помощью стрелочек, которые «смотрят» в одну сторону. I вел. – II вел.I изм. вел. – II изм. вел.
Для обратной пропорциональности при соответствующем определении для нее, стрелочки будут иметь разное направление:
I вел. – II вел.I изм. вел. – II изм. вел.
Т.к. в пропорции четыре составляющие, то три из них должны быть оговорены в задаче. А четвертую и будем обозначать неизвестной.
Приведем пример: «В 200 г раствора содержится 4 г соли. Сколько соли содержится в 600 г раствора?»
Составив схематическую запись для этой задачи, получим:
раствор соль
Было 200 г – 4 г
Спрашивается 600 г – х г
Теперь выясняем зависимость и ставим стрелочки.
200 г – 4 г600 г – х г
При рассуждении учащиеся используют свой практический опыт. Вид пропорциональности устанавливается на основе закономерности; «законов» логики в соотношении между величинами. У учащихся развивается воображение, самоконтроль за выполнением своих действий.
Работа с задачей и схема работы на уроке
Теперь рассмотрим работу по решению задач на выполнение конкретных задач, опираясь на приведенную схему (этапы).
Для перевозки груза потребовалось 15 машин грузоподъемностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?
1) Ученикам задаются следующие вопросы:
1. Что является объектом исследований? (количество машин грузоподъемностью 4,5 т)
2. Что они должны делать? (перевезти тот же груз)
3. Сколько машин перевезли этот груз, грузоподъемностью каждая по 7,5 т? (15)