Методика обучения решению текстовых задач алгебраическим способом (стр. 11 из 13)
Поскольку после переливания в обоих бидонах молока стало поровну, можно составить уравнение:
3x-5=x+5.
Учитель сообщает, что эту часть рассуждений при решении задачи называют составлением математической модели. На этом этапе переводят текст задачи с обыденного языка на математический язык. В результате получают математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Такой математической моделью и является составленное уравнение. После этого приступают ко второму этапу, который называют работой с математической моделью. На этом этапе нам надо решить составленное уравнение 3x-5=x+5.
Решение (учащиеся выполняют самостоятельно):
3x-x=5+5,
2x=10,
x=5.
Уравнение решено, теперь надо приступить к третьему этапу – ответу на вопрос задачи: сколько литров было в каждом бидоне первоначально?
Мы получили x=5, а за x было принято количество молока (в литрах), которое было во втором бидоне. Итак, во втором бидоне было 5 л молока. По условию задачи, в первом бидоне молока было в 3 раза больше, значит, в первом бидоне было 15 л молока.
Ответ: в одном бидоне было 5 л, а в другом – 15 л молока.
После этого в 7 классе повторяются этапы математического моделирования и они уже к этому подготовлены, но тем не менее нулевой этап своей актуальности не теряет, т.к. появляются более сложные задачи.
Рассмотрим задачник математика «Алгебра, 7» авторов Мордковича А.Г. и др. и составим к задачам, данным в этом учебнике, упражнения подводящие к их решению.
№95
Расстояние между городами мотоциклист проехал за 2 часа, а велосипедист – за 5 часов. Скорость велосипедиста на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста. найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста и расстояние между городами.
Решение.
Т.к. скорости велосипедиста и мотоциклиста неизвестны, то мы можем взять за x – скорость мотоциклиста, а скорость велосипедиста – (x-18). Мотоциклист двигался в течение 2-х часов со скоростью x км/ч, а велосипедист – 5 ч со скоростью (x-18) км/ч. Зная, что велосипедист и мотоциклист преодолели одно и то же расстояние, составим уравнение:
2x=5(x-18),
3x=90,
x=30 км/ч скорость М.,
30-18=12 км/ч скорость В.
Ответ: За 2 часа мотоциклист и за 5 ч велосипедист пройдут путь в 60 км.
Но перед тем как решать эту задачу можно рассмотреть другие задачи, направленные на подготовку к ее решению:
Пешеход идет со скоростью x км/ч, велосипедист на 10 км/ч быстрее. Расстояние от точки А до точки В пешеход преодолел за 3 ч, а велосипедист за 1 час.
Что обозначают выражения:
(x+10) – скорость велосипедиста;
3x – расстояние, которое прошел пешеход за 3 часа;
Что обозначает равенство:
3x=x+10 –пешеход и велосипедист преодолели одинаковое расстояние.
№96.
В одном доме на 86 квартир больше, чем в другом. Сколько квартир в каждом доме, если в двух домах 792 квартиры?
Решение
1 дом – x кв.
2 дом – (x+86)кв.
Всего 792 кв.
x+x+86=792,
2x=706,
x=353 кв. в 1 доме, 439 кв. во 2 доме.
Задача нулевого этапа.
В одной деревне x домов, а в другой на 112 домов больше. Всего в двух деревнях 504 дома. Что обозначают выражения и равенства:
x+112 – столько домов во второй деревне;
2x+112 - столько домов в двух деревнях;
2x+112=504 – всего в двух деревнях 504 дома.
№97.
В жилом доме всего 215 квартир. Сколько из них однокомнатных, если известно, что трехкомнатных квартир на 10 меньше, чем двухкомнатных, и на 5 больше, чем однокомнатных?
Решение
Пусть x – число трехкомнатных квартир, тогда
число однокомнатных кв. – (x-5),
число двухкомнатных – (x+10),
Составим уравнение:
x+x-5+x+10=215,
3x=210,
Ответ:x=70 кв. трехкомнатных, 80 кв. – двухкомнатных, 65 кв. – однокомнатных.
Нулевой этап: на огороде выросло всего 220 кг овощей. Картошки – x кг, капусты на 10 кг меньше, свеклы на 15 кг больше. Что означают выражения и равенства:
x+15 – количество кг свеклы;
x-10 – количество кг капусты;
x+15+x-10 – количество кг свеклы и капусты;
x+x+15 – количество кг картошки и свеклы;
x+x-10 – количество кг картошки и капусты;
x+x+15+x-10=220 – сколько всего кг овощей выросло на огороде.
№98.
В двух залах кинотеатра 460 мест. Сколько мест в большом зале, если в нем в 3 раза больше мест, чем в малом?
Малый зал – x мест, большой зал – 3x мест.
Решение
Составим уравнение:
x+3x=460,
4x=460,
x=115 мест в малом зале,
115×3=345 мест в большом зале.
Ответ 345 мест в большом зале.
Нулевой этап к этой задаче.
В двух книгах 580 страниц. В одной книге x страниц, а в другой книге – в 3 раза больше. Что обозначают эти выражения:
3x – страниц в во второй книге,
x+3x – число страниц в двух книгах,
x+3x=580 – уравнение из которого следует, что в двух книгах 580 страниц.
№309.
В магазин завезли апельсины и бананы, причем бананов в 3 раза больше. Когда продали половину бананов и 2/3 апельсинов, оказалось, что бананов осталось на 70 кг больше, чем апельсинов. Сколько бананов и апельсинов завезли в магазин?
Пусть в магазин завезли x кг апельсинов, тогда бананов – 3x кг. После продажи апельсинов стало 2/3x кг, а бананов – 3/2x кг. Но бананов осталось на 70 кг больше, чем апельсинов.
Решение
Составляем уравнение:
x+70= 
x,4x-9x+420=0,
5x=420,
x=84 кг апельсинов завезли в магазин.
Бананов в 3 раза больше, значит, 84×3=252 кг бананов завезли в магазин.
Ответ: 252 кг бананов завезли в магазин.
Нулевой этап.
В игрушечный магазин завезли x штук машин, а кукол в 3 раза больше. Когда продали половину кукол и 2/3 машин, оказалось, что кукол осталось на 70 больше, чем машин.
Что значат выражения:
3x – столько кукол завезли в магазин,
x – осталось машинок после продажи, x– осталось кукол после продажи, x +70 – на столько больше осталось кукол, чем машин, x +70= x– столько стало кукол и машин после продажи вместе.№412.
Из пункта А в пункт В со скоростью 12 км/ч выехал велосипедист, а через полчаса вслед за ним выехал другой велосипедист, проезжавший в час 14 км и прибывший в пункт В одновременно с первым велосипедистом. Найдите расстояние между А и В.
Решение
Пусть 1ый велосипедист был в пути x ч, тогда второй велосипедист (x-0,5)ч. Скорость 1ого велосипедиста 12 км/ч, значит, расстояние, которое он прошел 12x км, а второй велосипедист 14(x-0,5) км. Т.к. прибыли они одновременно, то можно составить уравнение:
12x=14(x-0,5);
12x=14x-7;
2x=7;
x=3,5 часа 1ый велосипедист был в пути, тогда 2ой - был в пути 3 часа.
Расстояние которое они прошли от пункта А до пункта В составляет 42 км.
Ответ: расстояние 42 км.
Нулевой этап.
Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 6 км/ч и был в пути x часов, через 30 минут из пункта А вышел 2ой пешеход и шел со скоростью 8 км/ч. Пришли в пункт В они одновременно.
Что обозначают выражения:
6x – расстояние, которое прошел 1 пешеход,
(x-0,5) – столько времени 2ой пешеход был в пути
8(x-0,5) – расстояние, которое прошел 2ой пешеход.
№413.
Лодка плыла 6 ч по течению реки, а затем 4 ч против течения. Найдите собственную скорость лодки (т.е. скорость в стоячей воде), если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч, а всего лодкой пройдено расстояние 126 км.
Решение
Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, тогда по течению она плывет со скоростью (x+3) км/ч (течение помогает), а против течения – со скоростью (x-3) км/ч (течение препятствует).
По течению реки лодка плыла 6 ч. За это время со скоростью (x+3) км/ч лодкой пройден путь 6(x+3) км.
Против течения лодка плыла 4 ч. За это время со скоростью (x-3) км/ч лодкой пройден путь 4(x-3) км.
По условию весь ее путь составил 126 км. Т.к. он состоит из пути по течению и пути против течения, то получаем:
6(x+3)+4(x-2)=126,
6x+18+4x+8=126,
10x=116,
x=11,6 км/ч собственная скорость лодки.
Ответ: собственная скорость лодки 11,6 км/ч.
Нулевой этап:
Лодка плыла 3 ч по течению реки, а затем 2 ч против течения. Собственная скорость лодки x км/ч, скорость течения реки равна 1,5 км/ч, всего лодкой пройдено 63 км. Что обозначают следующие выражения:
(x+1,5) км/ч – скорость лодки по течению реки,
(x-1,5) км/ч – скорость лодки против течения реки,
3(x+1,5) км – путь, пройденный лодкой по течению реки,
2(x-1,5) км – путь, пройденный лодкой против течения реки,
3(x+1,5)+ 2(x-1,5) км – весь пройденный путь.
№414.
От поселка до станции велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а возвращался со скоростью 15 км/ч, поэтому он затратил на обратный путь на 1 ч меньше. Найдите расстояние от поселка до станции.
Решение
Пусть x ч велосипедист был в пути от поселка до станции, тогда если он затратил на обратный путь на 1 ч меньше, то он был в пути (x-1) ч.
Т.к. он ехал туда со скоростью 10 км/ч , то он проехал 10x км, а обратно он ехал со скоростью 15 км/ч, тогда он проехал 15(x-1) км.
Т.к. путь туда и обратно был одинаковым, то мы можем записать уравнение:
10x=15(x-1);
10x=15x-15;
5x=15;
x=3 ч время которое он потратил на путь туда, а обратно он ехал на 1 ч быстрее, значит 2 часа.
Отсюда можно найти расстояние умножив 10 км/ч на 3 ч или 15 км/ч на 2 ч, получаем 30 км.
Ответ: расстояние 30 км.
Нулевой этап:
Из пункта А в пункт В мотоциклист проехал со скоростью 20 км/ч и потратил на весь путь x ч, а обратно ехал со скоростью 25 км/ч и затратил на обратный путь на 1 ч меньше. что обозначают эти выражения:
(x-1) ч – время, потраченное на обратный путь,
20x км – путь туда,
25(x-1) км – путь обратно,
20x=25(x-1) км – путь туда и обратно.
№1135
Для учащихся приобрели футбольные и волейбольные мячи, причем волейбольных в 5 раз больше, чем футбольных. На следующий год приобрели новую партию мячей, причем футбольных стало в 6 раз больше, чем было, волейбольных – в 4 раза больше, чем было, а всего мячей стало 52. Сколько мячей закупили в первый год?