4. Разбивка задач с параметрами по темам в действующих учебниках для средней школы
Исходя из возрастных особенностей учащихся, все задания с параметрами в 7 классе носят пропедевтический характер. Должны встречаться задания с параметрами на решение линейных уравнений, систем линейных уравнений, на выражение одной переменной через другую (в уравнениях с двумя переменными). Учащиеся на этом этапе еще не знакомы с понятием параметра, но в учебниках обязательно должно быть помещено примечание о том, что более подробно такие задания будут рассмотрены в 8 классе.
В 7 классе следует остановиться на заданиях, приведенных ниже.
1. Уравнения с одной переменой. (Учебник под редакцией С.А. Теляковского).
№ 236*. При каких значениях коэффициента m уравнение mx = 5 имеет единственный корень? Существует ли такое значение m, при котором это уравнение не имеет корней; имеет бесконечно много корней?
№ 237*. При каких значениях коэффициента p уравнение px = 10 имеет корень, равный -5; 1; 20?
2. Задания с использованием формул сокращенного умножения «Разность квадратов и сумма и разность».
№ 1073*. При каком значении а многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (x2 - 10x + 6)(x - a), не содержит:
а) x2;б) x?
3. Линейные уравнения с двумя переменными.
№ 982. (Учебник С.М. Никольского)
Число k ≠ 0. Решите уравнение. а) kx - 10 = 0; б) kx + a = 0.
№ 1024(ж).
Выразите x через y в уравнении 2y - 0,3x - 1 = 0.
№ 1106. (Учебник под редакцией С.А. Теляковского).
Найдите значение коэффициента а в уравнении ax + 2y = 8, если известно, что пара x = 2, y = 1 является решением этого уравнения.
Решение.
ax + 2y = 8
Подставим x = 2, y = 1, тогда получим:
2a + 2 = 8
2a = 8
a = 4.
Ответ: при a = 4 пара х = 2, у = 1 является решением данного уравнения.
№ 1100. (Учебник под редакцией С.А. Теляковского).
Из уравнения 2u + v = 4 выразите: а) переменную v через u; б) переменную u через v.
4. Область определения выражения.
№ 728 (Учебник С.М. Никльского)
При каких значениях букв определено выражение
Это фактически задание на определение множества значений параметра.
5. Системы линейных уравнений.
№ 1067 (Учебник С.М. Никльского) При каком а равносильны системы уравнений:
№ 1076 (Учебник С.М. Никльского). Дана система уравнений
Известно, что пара чисел (5 ; 6) является ее решением. Найдите значения a и b.
6. Задания на решение уравнений относительно x.
№ 213*. (Учебник С.М. Никльского)
Считая а и b данными числами, решите уравнение относительно x;
б) 3x + a = 4x - 2b + 3a,
е) 5(x - b) = 2(a - x),
ж) a - a(a + b)x = (2 - a)x - (3 + bx),
д) 2(x + a) = 3(x - a),
Решение:
x + a = 1,5(x - a)
x + a - 1,5 x + 1,5a = 0
-0,5x + 2,5a = 0
x = 5a
Ответ: x = 5a.
№ 1147*. Решите уравнение, считая, что a,b - данные числа, а х - неизвестное.
е) 3a2b - 6abx = ab,з) 7 - ax = 3b.
7. Задания, связанные с графиками функций. (Учебник А.Г.Модковича)
№ 902. Найдите значение m, если известно, что график линейной функции y = -5x + m проходит через точку:
а) N (1; 2) б) K(0,5; 4); в) M(-7; 8); г) P (1,2; -3).
№ 907. Как расположены в координатной плоскости хОу график линейной функции y = kx + m, если известно, что:
а) k > 0, m = 0;б) k < 0, m = 0?
Заметим, что наиболее подходящие задания для 7 класса можно взять из учебников Теляковского С.А. (Уравнения с одной и двумя переменными), Никольского С.М. (системы уравнений) и Мордковича А.Г. (Графики функций и задачи с параметрами).
8 класс
В 8 классе вводится в рассмотрение научное понятие параметра, даже в общеобразовательных классах. Все задания следует формулировть с использованием этого понятия для достижения наилучшего понимания учащимися сути задач с параметрами. Важно отметить, что подобные задания встречались и раньше, в 7 классе, а теперь такого рода уравнения именуются уравнениями с параметрами.
Хороший сюжет введения, исследования, изучения и применения понятия параметра приведен в учебнике для классов с углубленным изучением математики Мордковича А.Г. «Алгебра 8».
Задания на темы: Квадратные уравнения с параметром, уравнение с параметром и модулем, иррациональное уравнение с параметром были рассмотрены и решены выше (см. тему «Подбор задач с параметрами по уравнениям и неравенствам для классов с углубленным изучением математики на основе учебника А.Г. Мордковича «Алгебра 8»»)
Задачи, связанные с графиками функций. (Учебник А.Г. Мордковича)
№ 483. Найдите значение коэффициента с, если известно, что график функции y = x2 + 4x + c пересекает ось ординат в точке А(0; 2).
№ 500. При каких значениях коэффициента b и c точка А (1; -2) является вершиной параболы y = x2 + bx + c?
Задачи, в которых параметр является левой частью уравнения. (Учебник А.Г. Мордковича)
№ 518. При каком значении p уравнение x2 - 2x + 1 = p имеет один корень?
№ 522. При каких значениях p уравнение x2 + 6x + 8 = p:
а) не имеет корней;
б) имеет один корень;
в) имеет два корня?
Задания, приводящие к формированию умения отыскания множества допустимых значений параметра. (Учебник А.Г. Мордковича)
№ 543. При каких значениях а имеет смысл выражение:
а) ; б) ;в) ;г) ?
№ 793. При каких значениях параметра p уравнение
(2p - 3) x2 + (3p - 6)x + p2 - 9 = 0 является:
а) приведенным квадратным уравнением;
б) неполным неприведенным квадратным уравнением;
в) неполным приведенным квадратным уравнением;
г) линейным уравнением?
Решение квадратных уравнений с параметром с вычислением дискриминанта. (Учебник А.Г. Мордковича)
№ 838. Из данных уравнений укажите те, которые имеют два различных корня при любом значении параметра p:
а) x2 +px = 0;в) x2 +px + 5 = 0;
б) x2 - px - 5 = 0;д) px2 - 2 = 0.
№ 842. Докажите, что не существует такого значения параметра p, при котором уравнение x2 - px + p - 2 = 0 имело бы только один корень.
№ 953. Решите уравнение:
а) x2 - 2(a - 1)x + a2 -2a - 3 = 0;
в) x2 + 2(a + 1)x+ a2 + 2a - 8 = 0.
№ 337. (Учебник С.М. Никольского)
Известно, что x1 - корень уравнения. Определите второй корень уравнения и коэффициент a.
2x2 + 16x + a = 0, x1 = 3.
Использование теоремы Виета. (Учебник А.Г. Мордковича)
№ 791. При каких значениях параметра p сумма корней квадратного уравнения x2 + (p2 + 4p - 5)x - p = 0 равны нулю?
№ 1000. Дано уравнение x2 - (p + 1)x + (2p2 - 9p -12) = 0. Известно, что произведение его корней равно -21. Найдите значение параметра p.
№ 1360. При каких значениях параметра p квадратное уравнение
3x2 - 2px - p + 6 = 0:
а) имеет два различных корня;
б) имеет один корень;
в) не имеет корней?
Неравенство с параметрами.
№ 1366. При каких целочисленных значениях параметра p неравенство
(x - 2)(x - p) < 0 имеет три целочисленных решения?
В материале 8 класса можно отдать предпочтение квадратным уравнениям с параметрам, которые решаются с помощью теоремы Виета, и заданиям, в которых задан один из корней уравнения и необходимо найти второй корень и какой - либо неизвестный коэффициент.
9 класс
В 9 классе следует обобщить и систематизировать навыки решения уравнений и систем уравнений с параметрами, и освоить решение неравенств с параметрами.
1. Сначала можно рассмотреть задания, связанные с нахождением области определения функций, являющиеся подготовкой к работе с параметрами. Подобные задания можно взять из учебника под редакцией С.А. Теляковского. Например,
№ 11. Какова область определения функции, заданной формулой
Следующую группу заданий должны составить неравенства с параметрами, наиболее хорошо подобранные в учебнике С.М. Никольского.
2.Неравенства с дискриминантом, равным нулю.
№ 97. найдите все значения k, при каждом из которых верно неравенство:
а) x2 - 24x + k > 0 верно при всез х, кроме х = 12,
б) 64x2 + kx + 9 > 0 верно при всех х, кроме х = -3/8.
3. Неравенства второй степени с отрицательным дискриминантом.
№ 105. Укажите все значения m, при каждом из которых неравенство верно при любом значении х:
а) 2x2 - x + m > 0; б) 3x2 + 2x + m > 0.
Так как у обоих неравенств a > 0 (2 > 0 и 3 > 0), то необходимо найти D и решить неравенство D < 0 относительно m.
а) D = 1 - 8mб) D = 4 - 12m
D < 0 D < 0
1 - 8m < 0 4 - 12m < 0
m > 1/8 m > 1/3
Ответ: при всех m > 1/8 (m > 1/3) неравенство «а» («б») верно при любых значениях х.
№ 222. Решите неравенство, считая, что а - данное число:
а) ах > 0,б) ax > 1,в) ax + 1 > 3,
г) ax - 8 < 11,д) ax > x,е) ax + 1 > x.
№230*. Найдите все значения t, при которых уравнение имеет два различных корня.
а) x2 - 6x + t =0; б) (t + 3)x2 + 2(t - 1)x + t = 0.
№ 231. Найдите все значения t, при которых уравнение не имеет действительных корней:
а) x2 + 4x + 6t = 0, б) tx2 - 2(t - 2)x + t = 0.
№239. (Повышенной трудности) При каких значениях t уравнение
x2 - 2tx + t2 - 1 = 0 имеет два действительных корня:
а) отрицательных; б) положительных; в) разных знаков, причем отрицательный корень имеет большую абсолютную величину?
4. Далее, в 9 классе желательно рассмотреть один - два примера уравнения с параметром и модулем.
Например, решить уравнение при всех значениях параметра а.
|x + 3| - a|x - 1| = 4.
Ответ:
a ∈ (-1; 1) ⇒x1 = 1, x2= (a + 7)/(a - 1);
a = 1 ⇒x1≥ 1;
a > 1 ⇒x = 1.
Приложение. Список задач с параметрами, рекомендуемых для проведения дополнительных занятий по данной теме
Ниже предлагаются задачи с параметрами разного уровня сложности, для слабых и сильных учеников. Задачи с повышенной сложностью будут отмечены значком *.
Линейные уравнения
1. Решить уравнение при всех значениях параметра.
c - 2 = x + 2 (Какое значение будет иметь корень уравнения при ?
Ответ: х = с - 4,
⇒ .
2. Решить уравнение при всех значениях параметра.
x + 4 = a - 3 (Выяснить, при каких значениях параметра а корень уравнения равен -7)