Декартова система координат на плоскости
Декартова система координат вводится на основе двух осей координат, расположенных под прямым углом, ось х и ось у (позднее сообщается, что можно обозначить оси и другими буквами), с точкой пересечении О., являющейся начальной точкой для каждой из осей.
Затем вводятся координаты точки на конкретном примере, по рисунку, и координатные четверти.
4. В.Г. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин, Математика 5 класс
Глава 1. Линии и углы
§1. Линии
Разнообразный мир линий
На интуитивном уровне вводится понятие линии: если мы ведем карандашом по поверхности, то рисуем линию. Объясняется происхождение термина линия ( от латинского слова linea – лен, льняная нить, веревка).
Сообщается, что существует множество видов линий и рассматриваются следующие из них: замкнутая и не замкнутая ( на основе того можно линию обвести карандашом или нет); самопересекающаяся линия и линия без самопересечений.
На основе рисунка вводятся такие понятия как внутренняя и внешняя области и граница.
Главные линии: прямая и окружность
Понятие линий и их видов учащимся уже знакомо. На интуитивном уровне и вводится понятие прямой. Рассматриваются ее свойства как линии и возможности ее получения.
Далее, аналогичным способом вводится понятие окружности и круга, и их составляющие элементы.
Части прямой. Ломаная
Учащиеся знакомятся с понятием луча: точка О на прямой АВ делит ее на две части – лучи ОА и ОВ.
Если несколько, не лежащих на одной прямой, точек соединить отрезками, то мы получим ломаную. Вводятся элементы ломаной: вершины, стороны (звенья).
Длина линии
Отрезки можно сравнивать друг с другом. Если отрезки расположены на одном листе бумаги, то это легко сделать с помощью циркуля. Но это не всегда удобно. Другой способ – сравнить длины отрезков. Длину можно найти, если измерить отрезок, а для этого нужны единицы измерения. Вводятся единицы измерения. Сообщается, что для измерения длин отрезков используется линейка.
§2. Углы
Как обозначают и сравнивают углы
Проведем на плоскости два луча АВ и АС с общим началом в точке А. Часть плоскости, ограниченная этими лучами, называется углом.
Углы так же как и отрезки можно сравнивать. Для этого используется наложение одного угла на другой.
Вводится понятие биссектрисы, как луча, который делит угол на два равных угла.
Далее вводятся виды углов в сравнении с прямым, но не используя градусную меру.
Измерение углов
Вводится понятие градуса, и уже через градусную меру рассматриваются виды углов.
Учащиеся знакомятся с новым измерительным прибором- транспортиром.
Глава 3. Многоугольники
§1. Прямоугольники и треугольник
Ломаные и многоугольники
Замкнутая ломаная линия без самопересечений, которой четыре вершины называется четырехугольником. Четырехугольник это один из видов многоугольников.
Вводятся элементы фигуры: вершины, стороны, углы, диагональ.
Прямоугольники
Четырехугольники бывают различных видов, среди них один, уже хорошо знакомый ребятам – прямоугольник. Прямоугольник – это четырех угольник, у которого все углы прямые.
У прямоугольника противоположные стороны равны, а две другие (смежные) стороны могут быть различны.
Если же у прямоугольника все стороны равны, то он называется квадратом. Т.о., всякий квадрат является прямоугольником.
Треугольники и их виды
Самым простым многоугольником является треугольник.
Далее рассматриваются все виды треугольников:
Равнобедренный (равные стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием), а треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.
Вид треугольника определяется не только числом равных сторон, но и величиной углов: прямоугольный, тупоугольный, остроугольный (виды углов ученикам уже знакомы).
§2. Площади
Площадь прямоугольника
Отрезки и углы дети уже умеют сравнивать, причем двумя способами: геометрическим- наложением и арифметическим – с помощью измерения. Ставится вопрос о сравнении прямоугольников, на который дает ответ понятие площади.
Вводятся единицы измерения площади и определение площади, а далее формулы площади для прямоугольника и квадрата.
Единицы площади
Вводятся новые единицы измерения, предназначенные для измерения площадей земельных участков: ар и гектар.
Глава 5. Многогранники
§1. Геометрические тела
Предметы и их форы
Математики изучают не предметы, а их формы. Вместо предметов они рассматривают геометрические тела: цилиндр, шар, конус и т.д.
Происходит знакомство с элементами многогранников.
Изображение геометрических тел
Параграф носит повествовательный характер. Учеников знакомят с основными правилами изображения геометрических тел.
§2. Параллелепипед и пирамида
Прямоугольный параллелепипед
Многогранники могут иметь самую различную форму. Среди них выделяют прямоугольный параллелепипед. Вводятся все элементы прямоугольного параллелепипеда.
Среди всех параллелепипедов выделяется один, уже хорошо известный ученикам – куб.
Пирамида
Важным и интересным семейством многогранников являются пирамиды. Вводятся элементы пирамиды. И рассматривается простейший вид пирамиды.- треугольная.
Развертки
Изображена фигура и сообщается, что если ее вырезать и сложить, то получится куб. И наоборот, разрезав куб по некоторым ребрам, мы можем развернуть его на плоскости. При этом мы получим развертку куба.
Математика 6 класс
Глава 2. Прямые на плоскости и в пространстве
Пересекающиеся прямые
Напоминаются уже известные свойства прямой: бесконечна, незамкнутая, через две точки можно провести только одну прямую.
На рисунке изображены две пересекающиеся прямые. Они делят плоскость на четыре угла. У этих углов общая вершина – точка пересечения прямых.
Вводится понятие вертикальных углов и объясняется, что они равны, т.к. каждый из этих углов дополняет один и тот же угол до развернутого угла.
Далее вводится понятие перпендикулярных прямых. Если одну пару вертикальных углов составляют острые углы, то другую – тупы. Но может оказаться так, что все четыре угла между собой равны, тогда каждый из них равен 90. В этом случае прямые называют перпендикулярными. Объясняется происхождение термина и вводится стандартный символ для обозначения перпендикулярных прямых.
На основе рисунка сообщается, что перпендикулярные прямые можно построить с помощью угольника или с помощью транспортира.
Параллельные прямые
Случай, когда прямые пересекаются был рассмотрен в предыдущем пункте, а если прямее не пересекаются, для них существует свой термин, они называются параллельными.
Вводится символ для обозначения параллельных прямых и поясняется история его происхождения.
Далее приводится подробный план построения параллельных прямых с помощью угольника и линейки. Но предварительно свойство, характеризующее параллельные прямые и которое позволяет выполнить построение с помощью циркуля и линейки: если провести несколько параллельных прямых и прямую их пересекающую, эта прямая пересечет каждую из этих параллельных прямых под одним и тем же углом.
На основе рисунка вводится свойство параллельных прямых: если прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
На примере куба рассматривается следующий случай взаимного расположения прямых в пространстве. Вводится определение скрещивающихся прямых.
Расстояние
Рассматривается расстояние между точками, от точки до прямой, между параллельными прямыми и от точки до плоскости.
Глава 5. Окружность
Прямая и окружность
На основе серии рисунков вводится взаимное расположение прямой и окружности.
С помощью рисунка сообщается свойство касательной: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Далее на основе этого свойства приводится подробный прян построения касательной к окружности.
Две окружности на плоскости
Объяснение видов взаимного расположения двух окружностей на плоскости проводится аналогично предыдущему пункту.
Построение треугольника
Сначала приводится подробное построение треугольника со сторонами 3, 4, 5 см с помощью циркуля и линейки.
Далее приводится попытка построения треугольника со сторонами 1, 2, 4 см. Такое построение не возможно осуществляется вывод и сообщается неравенство треугольника.
Круглые тела
Рассматривается цилиндр, шар и конус. Знакомство осуществляется по следующему плану:
1. Историческая справка (происхождение термина)
2. Составляющие элементы
Глава 7. Симметрия
Осевая симметрия
Проводится практическая работа. Возьмите лист бумаги. Перегните его по некоторой прямой и проткните иглой. Развернув лист, вы увидите две точки, расположенные по разные стороны от этой прямой. Эти точки симметричные относительно прямой – линии сгиба.
Если через полученные точки провести прямую, то можно убедиться, что она перпендикулярна линии сгиба, а точки находятся от нее на одинаковом расстоянии (важное свойство симметрии).
Затем, рассматривается алгоритм для построения точки, симметричной данной. С помощью этих знаний можно строить фигуру, симметричную данной.
Если фигуры симметричны, то они равны!
Аналогом осевой симметрии в пространстве является симметрия относительно плоскости – зеркальная симметрия.
Ось симметрии фигуры
Говорят, что фигура симметрична относительно некоторой прямой, если при перегибании по этой прямой части фигуры совпадают. Именно эта линия сгиба и называется осью симметрии фигуры.
Построения циркулем и линейкой
Задача: пусть дан отрезок АВ. Требуется построить прямую, ему перпендикулярную и проходящую через его середину.
Выполняется построение, после вводится специальное название – серединный перпендикуляр.