Изучение геометрии на уроках математики в 5-6 классах (стр. 12 из 14)
Урок №3
Цель: научиться разрезать прямоугольник на две равные части, из которых можно сложить квадрат, другой прямоугольник. Научиться определять, из каких прямоугольников, разрезав их, можно составить квадрат.
Дополнительные задачи 7-8 (эти задачи можно рассмотреть в начале урока для разминки).
1. Прямоугольник 4х9 клеток разрежьте по сторонам клеток на две равные части так, чтобы из них затем можно было сложить квадрат.
2. Можно ли прямоугольник 4х8 клеток разрезать на две части так, чтобы из них можно было составить квадрат?
3. Из прямоугольника 10х7 клеток вырезали прямоугольник 1х6 , как показано на рисунке. Разрежьте полученную фигуру на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
4. Из прямоугольника 8х9 клеток вырезали закрашенные фигуры, как показано на рисунке. Разрежьте полученную фигуру на две равные части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник 6х10.
5. На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5х5 клеток. Покажите, как разрезать его по сторонам клеток на 7 различных прямоугольников.
6. Разрежьте квадрат 13х13 на 5 прямоугольников по сторонам клеток так, чтобы все десять чисел, выражающих длины сторон прямоугольников, были различными целыми числами.
7. Разделите фигуры, изображенные на рисунке, на две части. (Разрезать можно не только по линиям клеток, но и по их диагоналям.)
8. Разрежьте фигуры, изображенные на рисунке, на четыре равные части.
2.4 Задачи на разрезание треугольника
Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитого персидского астронома Х века, жившего в Багдаде. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в начале ХХ века. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри Э. Дьюдени.
В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.
Вместе с тем, задачи на разрезание не являются несерьезными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьезных математических задач.
Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.
1. Можно ли провести разрез произвольного треугольника так, чтобы получить два треугольника?
2. Можно ли провести разрез треугольника так, чтобы получить три треугольника?
3. Можно ли провести два разреза треугольника, чтобы получить три треугольника?
4. Можно ли проведением двух разрезов треугольника получить четыре треугольника?
5. Можно ли провести два разреза треугольника так, чтобы получить пять треугольников?
6. Как нужно провести два разреза треугольника, чтобы получить шесть треугольников?
7. Можно ли двумя разрезами разбить треугольник на семь треугольников?
8. Можно ли двумя разрезами разбить треугольник на восемь треугольников?
9. Какое количество треугольников можно получить при проведении трех разрезов данного треугольника?
10. Сколько треугольников изображено на рисунке? Назовите их.
11. Сколько углов вы видите на рисунке? Назовите их.
12. Сосчитайте сколько треугольников изображено на рисунке?
Схема рассуждений
Цепочка задач построена таким образом, что при переходе к каждой последующей фигуре увеличивается число искомых треугольников (принцип нарушается при переходе от случая «в» к случаю «г», но в случае «г» усложняется «геометрический фон», т.е. появляются такие взаимопроникающие треугольники, которые состоят, например, из треугольника и четырехугольника, а в случае «в» все взаимопроникающие треугольники можно рассматривать состоящими только из треугольников).
Оценка выполнения задания
Случай «а»
1) Если учащийся увидел большой треугольник, состоящий из двух маленьких, т.е. всего три треугольника, то он получает 1 балл.
2) Если учащийся не видит какой-либо из трех треугольников, то он получает 0 баллов.
Случай «б»
На данном рисунке изображен большой треугольник, состоящий из трех маленьких, всего четыре треугольника. Такое решение оценивается в 1 балл.
Случай «в»
Схема рассуждений и ход решения
1. Сосчитаем все маленькие треугольники, их всего шесть
2. Сосчитаем треугольники, состоящие из двух маленьких, их всего три
3. Сосчитаем треугольники, состоящие из трех маленьких, их всего шесть
4. Треугольник, состоящий из шести маленьких треугольников – 2
Всего получилось 16 треугольников
Оценка выполнения задания
1) Учащиеся сосчитали (увидели) все взаимопроникающие треугольники, подсчет вели с помощью алгоритма – 2 балла.
2) Задача решалась без применения алгоритма (какие треугольники учащийся увидел, такие и сосчитал, но нашел больше семи треугольников – 1 балл).
3) Учащийся при решении насчитал меньше семи треугольников, т.е. не увидел взаимопроникающих треугольников, - оценка 0 баллов.
Случай «г»
Схема рассуждений и ход решения
1) Сосчитаем треугольники в «нижней» части рисунка, их всего шесть, причем все они состоят только из треугольников.
2) Добавляем «верхнюю» часть, получаем треугольники, состоящие из треугольников и четырехугольника.
Всего получилось: (3+2+1)+(3+2+1)=12 треугольников.
Оценка выполнения задания
1) Учащийся подсчитал все треугольники с помощью алгоритма (выбор алгоритма значения не имеет) – оценка 3 балла.
2) Учащийся применил для решения алгоритм, не позволяющий выделить все имеющиеся на рисунке треугольники – оценка 2 балла.
3) Учащиеся, не увидевшие взаимопроникающих треугольников, получают 1 балл.
4) Учащиеся, увидевшие на рисунке меньше семи треугольников, получают 0 баллов.
13. Сосчитайте число треугольников, изображенных на рисунке.
Ответы: а) 13 треугольников; б) 27 треугольников; в) 47 треугольников; г) 27 треугольников; д) 32 треугольника; е) 48 треугольников.
14. Начертите треугольник. Пересеките его двумя прямыми так, чтобы на рисунке оказалось:
а) Пять треугольников
Схема рассуждений
Надо получить пять треугольников. Один треугольник уже есть, он построен по условию задачи. Если из любой вершины провести прямую, пересекающую противоположную сторону, то получим еще два треугольника. В одном из полученных треугольников через вершину, лежащую на стороне исходного треугольника, проведем прямую, пересекающую противоположную сторону этого треугольника, получим еще два треугольника.
б) Восемь треугольников
Схема рассуждений
Чтобы получилось семь треугольников (один уже есть), достаточно провести прямые через две вершины, пересекающие противоположные им стороны исходного треугольника.
Оценка выполнения задания
Верное решение оценивается в 3 балла. Попытки, близкие к верному решению, - 1 балл и неверно решенная задача – 0 баллов.
§3. Материалы для проведения уроков
3.1 "Цепочки" задач по теме "Точки и прямые плоскости"
Задачи направлены на развитие математических способностей учащихся.
В этом разделе содержатся задачи, которые интересны и полезны для учащихся любого возраста.
В предлагаемых задачах прекрасно работает "математическая интуиция" и "математическое воображение", которые в среднем школьном возрасте как бы полностью открыты, ничем не загромождены (знания и опыт часто заслоняют эти очень важные качества). Интуитивное предвидение верных фактов, комбинаций и даже методов – это одно из огромных достоинств предлагаемых ниже задач.
Сначала рассмотрим задачи, для решения которых фактически не требуется никаких теоретических знаний.
Методические рекомендации: данные задачи можно использовать для устной работы при проведении урока на этапе актуализации знаний.
1. Есть одна точка. Проведите через эту точку прямую. Сколько прямых можно провести через данную точку? Какая фигура при этом получится плоская или пространственная?