Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов (стр. 3 из 14)
Для анализа были выбраны учебники геометрии, рекомендованные (допущенные) Министерством Образования и Науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2008/2009 учебный год [30]. Это такие учебники как Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7- 9 [7]; Погорелов А.В. Геометрия 7 – 9 [20]; Шарыгин И.Ф. Геометрия 7 – 9 [31]; Смирнова И.М. и др. Геометрия 7 – 9 [26] (учебники, рекомендованные Министерством Образования и Науки РФ); Александров А.Д. и др. Геометрия 7, 8 – 9 [1, 2] (учебники, допущенные Министерством Образования и Науки РФ Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2008/2009 учебный год).
3.1 Учебник геометрии 7 – 9 (авторы Атанасян Л.С. и др.) [7]
В первой главе рассматриваются простейшие геометрические фигуры – точка, прямая, отрезок, луч, вопрос сравнения и измерения отрезков и углов. Введение основных понятий опирается на наглядные представления и на тот опыт, который накоплен учащимися при изучении математики в 1 – 6 классах.
Прежде, чем вводить понятие длины отрезка, авторы рассматривают решение задачи: с помощью данной линейки построить отрезок более длинный, чем сама линейка.
Авторы также поясняют, что для проведения длинных отрезков, прямых на местности, используется прием, который называется провешиванием прямой. Он широко используется на практике, например, при рубке лесных просек, при прокладывании трассы шоссейной или железной дороги, линий высоковольтных передач и т.д.
На практике часто приходится не только строить различные отрезки, но и измерять их, то есть находить их длины. Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его также называют масштабным отрезком). Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. Может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке – получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке.
За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, то есть выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.
После этого в тексте учебника выделяются некоторые свойства длин отрезков: если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, то есть равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее части) укладываются в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, то есть меньший отрезок имеет меньшую длину. Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков. Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.
Также авторы рассказывают о единицах измерения и измерительных инструментах, применяемых при измерении отрезков. Для измерения отрезков и нахождения расстояний на практике используют различные единицы измерения. В учебнике упоминается о таких единицах измерения как метр, сантиметр, миллиметр, дециметр, километр, морская миля, световой год, аршин, сажень.
Измерительные приборы, рассматриваемые в учебнике: масштабная миллиметровая линейка, используемая в техническом черчении; штангенциркуль – для измерения диаметра трубки; рулетка – для измерения расстояний на местности.
Измерение углов вводится аналогично измерению отрезков, основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. В параграфах «Измерение углов на местности» и «Построение прямых углов на местности» рассказывается о специальных приборах, предназначенных для измерения углов. Так, например, одним из таких приборов является астролябия. «Она состоит из двух частей: диска, разделенного на градусы, и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады находятся два узких окошечка, которые используются для установки ее в определенном направлении».
Для построения прямых углов на местности также применяют специальные приборы, простейшим из которых является эккер. «Эккер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укрепленных на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны. Чтобы построить на местности прямой угол с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О; а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставлены на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска. Получается прямой угол АОВ.
В геодезии для построения прямых углов используют более современные приборы, например теодолит». Затем в учебнике уже при изучении признаков параллельных прямых рассматриваются способы построения параллельных прямых, также с использованием различных чертежных и измерительных инструментов. И уже в конце седьмого класса упоминается такой инструмент как уголковый отражатель и способы его применения, но данная тема не является обязательной.
Изучение геометрии в 8 классе начинается с рассмотрения понятия многоугольника и различных видов многоугольников и их свойств. Затем переходят к изучению темы «Площадь многоугольника». Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Так, если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см2. Аналогично определяется квадратный метр, квадратный миллиметр и т.д. [12].
При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике. Далее выводятся различные формулы для нахождения площади того или иного многоугольника. Но как можно заметить на непосредственное измерение площади времени не отводится, в учебнике также не рассматриваются приборы, предназначенные для измерения площади фигур.
Далее изучаются понятие подобия фигур, признаки подобия треугольников и рассматриваются практические приложения подобия треугольников: задачи на построение, измерительные работы на местности. Свойства подобных треугольников могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности. В учебнике рассматриваются две задачи: определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки.
Затем уже в девятом классе вновь упоминается об измерительных работах на местности с использованием тригонометрических формул. И изучаются понятия длины окружности и площади круга.
Чтобы получить наглядное представление о длине окружности, представим себе, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Если мы разрежем нить в какой-нибудь точке А и распрямим ее, то получим отрезок АА1, длина которого и есть длина окружности (рис. 1).
Рис. 1
Затем выводится формула для вычисления длины окружности, длины дуги. Аналогично проводится изучение и площади круга, кругового сектора.
Авторы уделяют время на изучение нового понятия объема геометрического тела.
Итак, определения длины отрезка, градусной меры угла, площади, реализуемые в учебнике являются описательными [8], то есть перечисляются лишь основные свойства нового понятия [6]. Что касается задачного материала, предлагаемых в учебнике, то на непосредственное измерение приводится небольшое количество задач; на косвенное измерение геометрических величин отводится достаточное количество времени, так как научить школьников правильно измерять эти величины очень важно. Эти умения учащимся пригодятся и в дальнейшем изучении геометрии, физики, черчении, и в их повседневной жизни, и в будущей профессии. Содержание материала учебника отвечает требованиям стандарта.
3.2 Учебник геометрии 7 – 11 (авторы Погорелов А.В. и др.)
Рассмотрим теперь еще один учебник, предназначенный для обучения геометрии в российских школах: учебник геометрии 7 – 11 (авторы Погорелов А.В. и др) [20].
Учебник Погорелова А.В. также как и учебник Атанасяна Л.С. и др. начинается с изучения простейших геометрических фигур: точка, прямая, отрезок, угол, - и их свойств. Измерению отрезков уделяется меньше внимания, чем в уже рассмотренном учебнике, – авторы не дают определения длины, а вводят это понятие с помощью свойств измерения отрезков; не рассматривается задача о построении отрезка, длина которого будет больше, чем длина линейки, также не рассматриваются приборы, предназначенные для измерения длин отрезков и углов. В отличие от учебника Атанасяна Л.С. и др., в рассматриваемом учебнике нет ни одной задачи на непосредственное измерение длин отрезков и углов.
Затем автор подчеркивает, что углы измеряются в градусах при помощи транспортира. Вводятся основные свойства измерения углов.
Определение понятия площади вводится аксиоматически, то есть понятие задается через выполнение определенных свойств. Метрические свойства окружности традиционно связываются с изучением правильных многоугольников, вписанных в окружность или описанных около нее [16].