Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов (стр. 10 из 14)

ÐС = 30°,

Найти: ÐА.

Уже при построении чертежа от учеников требуется умение строить такие отрезки, как

см. Это построение может быть выполнено следующим образом:

1. Сначала построим отрезок, равный

см. Для этого построим прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 см, а катетом 1 см. Тогда второй катет этого треугольника будет равен см (по теореме Пифагора) (рис. 39).

2. Затем мы три раза откладываем полученный отрезок и делим его пополам.

Рис. 39

Таким образом, при использовании такого вида измерения в качестве средства поиска решения задачи, учащиеся должны хорошо владеть измерительными и чертежными инструментами.

Построение (рис. 40):

1. АС = 6 см;

2. ÐС = 30°;

3.

4.

;

5. КР = ВМ, КÎ а;

6. b || АС, Р Îb;

7.

Рис. 40

После того, как школьник построил такой треугольник, он может измерить угол, который необходимо найти. Измерив ÐА, ученики убедятся, что он равен 60°, таким образом, треугольник АВС – прямоугольный. У школьников появятся мнения о том, с чего начать решение этой задачи – найти АВ, после чего, показать, что треугольник, в самом деле, прямоугольный.

А уже после того, как ребенок нашел способ решения этой задачи, он ее решает с использованием косвенных измерений.

(Решение:

1. Найдем площадь треугольника АВС:

С одной стороны:

(см²);

С другой стороны:

. Откуда АВ = (см)

2. ÐС = 30°, АС = 6 см, АВ = 3 см, сл-но, ∆АВС – прямоугольный, ÐВ = 90°, ÐА = 60°.

Ответ: ÐА = 60°.)

Непосредственные и косвенные измерения также могут помочь в решении задач.

Пример 6. Дана монета (монета имеет форму окружности) (рис. 41). Найти ее радиус.

Рис. 41

Ученики с помощью нити измеряют длину окружности, а затем вычисляют ее радиус по уже известной им формуле.

Заметим, что использование информационных измерений при решении задач возможно, но в большинстве случаев они помогают лишь вычислить что-то, не позволяют ученику понять ход решения. Использование информационных измерений при решении задач оказывают влияние в следующих случаях:

- для четкого построения чертежа. С помощью компьютерных технологий школьник может сделать правильный и точный чертеж к задаче, а после этого перейти к поиску решений.

- Решение задач на ГМТ.

- Решение задач исследовательского характера.

Пример 7. Дан равносторонний треугольник со стороной а и окружность с радиусом, равным стороне треугольника. Определить, сколько возможно точек пересечения окружности со сторонами треугольника.

В программе Живая геометрия ученики могут построить равносторонний треугольник и окружность. Передвигая эту окружность, школьники определят количество точек пересечения. Учитель может сделать это для демонстрации в классе, с использованием анимации, что также возможно в указанном компьютерном приложении.

- В решении задач на построение. На этапе анализа задачи ученики могут выполнить чертеж на компьютере, а уже после этого и к отысканию способа построения.

1.3 Использование измерений для опровержения каких-либо утверждений

Школьникам задается вопрос об истинности какого-то утверждения. Не каждый ребенок может сразу ответить верно, поэтому чтобы ученики убедились в правильности своего ответа, они проверяют выполнение факта на практике. Рассмотрим несколько примеров таких вопросов.

Ученикам предлагается высказать предположение о том, верно ли следующее утверждение: в треугольнике сумма двух сторон меньше, чем другая его сторона. Учащиеся высказывают свои догадки, после чего учитель предлагает построить в тетрадях произвольный треугольник и проверить выполняется ли это неравенство. После некоторых измерений ученики убеждаются в том, что это утверждение ложно. В этом им помогли непосредственные измерения.

Рассмотрим другой вопрос, для ответа на который понадобятся косвенные измерения: всегда ли площадь квадрата, сторона которого равна диаметру круга, больше площади такого круга. Пусть сторона квадрата равна а, тогда его площадь равна а². Площадь круга с диагональю а равна

. Ученикам нужно сравнить полученные площади: так как <1, то площадь квадрата будет больше, чем площадь круга, диаметр которого равен стороне квадрата. Таким образом, ученики получают ответ на вопрос. (ответ: да)

1.4 Измерения, подчеркивающие практическую значимость геометрии

Использование измерений в школьном курсе геометрии помогает при достижении различных целей, дает возможность организовывать урок и в форме лабораторной, исследовательской, практической работы, то есть разнообразить формы организации обучения, что поможет учителю и при контроле знаний и умений учащихся, и при организации индивидуального и дифференцированного подхода к обучению. Заметим, что помимо перечисленных нами направлений использования измерений, они так же существуют как самостоятельная единица. Существует множество разнообразнейших занимательных задач на измерения, подчеркивающих практическую направленность геометрии и межпредметную связь. Рассмотрим примеры таких задач.

Пример 8. Измерить высоту дерева.

Рис. 42

На некотором расстоянии (рис. 42) от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (ED), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расрасстояния CD от зеркала до наблюдателя. Способ основан на законе отражения света. Вершина А (рис. 43) отражается в точке А' так, что АВ = А'В. Из подобия же треугольников ВСА' и СЕВ следует, что A'B:ED = BC:CD. В этой пропорции остается лишь заменить A’В равным ему АВ, чтобы обосновать указанное в задаче соотношение.

Рис. 43

Пример 8. В тени серебристого тополя от его корней разрослась поросль. Сорвите лист и заметьте, как он велик по сравнению с листьями родительского дерева, особенно с теми, что выросли на ярком солнце. Теневые листья возмещают недостаток света размерами своей площади, улавливающей солнечные лучи. Определить, во сколько именно раз площадь листа поросли больше площади листа родительского дерева.

Оба листа, различные по величине, имеют все же одинаковую или почти одинаковую форму: другими словами, — это фигуры, геометрически подобные. Площади таких фигур, мы знаем, относятся, как квадраты их линейных размеров. Значит, определив, во сколько раз один лист длиннее или шире другого, мы простым возведением этого числа в квадрат узнаем отношение их площадей.

Пример 9. У одуванчика, выросшего в тени, лист имеет длину 31 см. У другого экземпляра, выросшего на солнцепеке, длина листовой пластинки всего 3,3 см. Во сколько примерно раз площадь первого листа больше площади второго? [18]

Отношение площадей равно

. Значит, один лист больше другого по площади раз в 90.

Такие задачи могут быть использованы также при подготовке внеклассных мероприятий по математике или факультативов.

§2. Рекомендации по реализации основных направлений использования измерений в школьном курсе геометрии

В предыдущих параграфах мы рассмотрели виды измерений и направления их использования в обучении геометрии. В зависимости от направления использования измерений целесообразно применять тот или иной вид измерений. Рассмотрим, при изучении каких тем школьного курса геометрии, возможно использование измерений геометрических величин.

Применение непосредственных измерений, то есть измерений с помощью специальных инструментов, возможно при изучении таких тем как «Смежные и вертикальные углы», «Признаки равенства треугольников», «Свойства равнобедренных треугольников», «Параллельные прямые», «Соотношения между сторонами и углами треугольника», «Подобные треугольники» и др. На уроках при введении перечисленных тем, разделов ученикам предлагается с помощью измерений обнаружить какой-либо факт, убедиться в истинности утверждения. Это можно реализовать с помощью непосредственного измерения геометрических величин. При этом, ученикам нужно дать понять, что непосредственные измерения не всегда точны, и поэтому результат может не совпадать с ожидаемым. В этом случае школьников необходимо познакомить с такими понятиями как погрешности и приближенные значения величин. С погрешностью мы сталкиваемся при измерениях в связи с неточностью измерительного прибора, человеческим фактором, внешними воздействиями. О них следует рассказать ученикам и научить их определять погрешности измерений и работать с ними, если школьники углубленно занимаются математикой. В остальных случаях столь подробного рассмотрения этих понятий не требуется, так как вопрос об погрешности измерений очень сложен. Нам достаточно уметь находить приближенные значения величин.