Применение занимательного задачного материала для активизации познавательной деятельности учащихся при обучении решению текстовых задач (стр. 9 из 13)
Решение: Обозначим меньшую часть от второго деления через x, тогда большая часть от первого деления будет 2x. Найдем теперь меньшую часть от первого деления. Она будет равна (100- 2x). Следовательно, большая часть второго деления равняется (300-6x). Ясно, что обе части от второго деления должны составить 100, то есть:
,откуда x=40
Следовательно, результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая часть – 80.
Результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.
5. Задача из «Греческой Антологии»[5]
- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины.
Решение:
Задача сводится к уравнению:
Следовательно, школу Пифагора посещают 28 человек, что и нужно было найти.
6. Задача из «Греческой Антологии»
Здесь погребен Диофант. И камень могильный
При счете искусном расскажет нам,
Сколь долог был его век.
Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;
В двенадцатой части затем, прошла его светлая юность.
Седьмую часть жизни прибавим – перед нами очаг Гименея.
Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына.
Но горе ребенку! Едва половину он прожил
Тех лет, что отец, как скончался несчастный.
Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой
И умер, прожив для науки. Скажи мне,
Скольких лет достигнув, смерть воспринял Диофант?
Решение: Условие задачи приводит к уравнению
Следовательно, Диофант умер в 84 года.
7. Задача из трактата «Начала искусств вычисления»[6]
Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть на цветках силиндхата. Утроенная разность двух последних чисел направилась к цветкам кутая. И осталась еще одна пчелка, летающая взад и вперед, привлеченная ароматом жасмина и пандануса. Спрашивается, сколько всего пчел?
Решение: Задача сводиться к уравнению
Следовательно, всего было 15 пчел.
8. Некто сказал своему другу: «Дай мне сто рупий, и я буду вдвое богаче тебя», на что последний ответил: «Если ты мне дашь только 10 рупий, я стану вшестеро богаче тебя». Спрашивается, сколько было у каждого?
Решение: Пусть у первого было
рупий, а у второго 
рупий. Ясно, что первое условие будет выполнено. Имея в виду второе условие, находим 
Следовательно, у первого было 140-100=40 рупий, у второго 70+100=170 рупий.
9. Купец, будучи должен 753 руб., попросил у того же заимодавца еще 303 руб. Последний согласился удовлетворить его просьбу на условии, чтобы весь долг был уплачен в течении 8 месяцев и притом так, чтобы должник, внеся к концу первого месяца некоторую сумму на покрытие части долга, ежемесячно увеличивал свой взнос на половину, т.е. уплатил бы во второй месяц полторы таких суммы, в третий месяц две таких же суммы, в четвертый две с половиной и т.д. Обсудив эти условия, купец согласился на них. Спрашивается, какую сумму должен он внести в первый месяц и сколько в каждый из следующих месяцев?
Решение:
Пусть к концу первого месяца купец должен внести x руб., тогда
(рублей)2–ой месяц 48+24=72
3-ий месяц 48+48=96
4-ый месяц 48+48+24=120
5-ый месяц 48+48+48=144
6-ой месяц 48+48+48+24=168
7-ой месяц 48+48+48+48=192
8-ой месяц 48+48+48+48+24=216
10. Задача из «Курса алгебры» А.Н. Страннолюбского.
Два работника прожили у хозяина равное время; один из них получал по 15, а другой по 10 рублей в неделю. При окончательном расчете оказалось, что первый работник должен получить более второго именно на ту сумму, которую он забрал в течение работы, а забрал он сперва 4
руб., потом 3 руб., и наконец 7 рублей. Сколько продолжалась работа?Решение:
Пусть x - число недель, в течении которых продолжалась работа, (15-10) разница в полученных деньгах, тогда:
(недели)11. Отец завещал
своего имения сыну и 
дочери; из оставшегося затем капитала 2500 руб. должны были пойти на уплату долга, а 3000 руб. в пользу вдовы. Как велик был оставленный отцом капитал и по скольку должны получить сын и дочь?Решение: Обозначим оставленный отцом капитал через x, тогда
(руб.)Сыну завещал
Дочери завещал
12. Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было бы мне 29 лет тому назад; мне теперь 45 лет». Найти лета обоих сыновей.
Решение: Обозначим лета второго сына через x, тогда
4 года второму сыну
А первому
(лет)13. Задача Магницкого
Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так хочу отдать тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и пол столько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня учеников 100». Спрашивается, сколько было у учителя учеников?
Решение:
I способ (стандартное решение)
Пусть было x учеников. Составим уравнение
; 
(учеников)II способ
Эту задачу Магницкий решает «фальшивым правилом» (или методом «двух ложных положений»), которому в своей «Арифметике» отводит особое место.
Далее по формуле
Искомое число учеников:
Ответ: 36 учеников.
Метод «двух ложных положений» Сущность этого метода покажем на примере решения уравнения:
(1)Для решения этого уравнения предположим, что искомое
. Подставив x1 в уравнение (1), получим: 
(2)где n1 – первая ошибка правой части уравнения (1). Теперь предположим, что x=x2, тогда, подставив x2 в уравнение (1), получим:
(3)Вычтем почленно из уравнения (2) уравнение (3) и получим:
(4)Теперь обе части уравнения (2) умножим на x2 , а обе части уравнения (3) на x1 и затем почленно вычтем полученные уравнения:
(5)Из уравнения (4) найдём a, а из уравнения (5) найдём b. Так как из исходного уравнения (1)
, то получим: