Факультативный курс по теме "Элементы комбинаторики" для 8 класса (стр. 3 из 8)
Пусть дан кортеж длинны п, составленный из элементов множества Х={х1, …, хk}. Причем элемент х1 входит в этот кортеж п1 раз, элемент хk– пk раз. Тогда п=п1+…+пk. Если переставлять в этом кортеже буквы, то будут получаться новые кортежи, имеющие тот же состав. Эти кортежи называются перестановками с повторениями из элементов х1,…, хk, имеющими состав (п1, … , пk).
Задача: сколько различных кортежей получится, если переставлять буквы слова «математика»?
Решение: это слово имеет состав: м – 2, а – 3, т – 2, е – 1, и – 1, к – 1, то есть (2, 3, 2, 1, 1, 1), поэтому получим Р(2,3,2,1,1,1)= 
В размещениях и перестановках важен порядок размещения элементов кортежа.
Сочетания
В отличие от размещений, в сочетаниях порядок элементов множества не важен.
Из элементов множества Х={7, 4, 5} можно образовывать не только кортежи различной длины, но и различные подмножества, например двухэлементные. В комбинаторике их называют сочетаниями без повторений из трех элементов по два элемента.
Сочетание без повторения из kэлементов по m элементов – это m-элементное подмножество множества, содержащего k элементов.
Два сочетания изkэлементов поmэлементов отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Число всевозможных сочетаний без повторений из k элементов по m элементов обозначают
[23, 154].Задача: четыре человека сыграли друг с другом по одной партии в шахматы. Сколько было сыграно партий?
Решение: каждую партию можно рассматривать как комбинацию из двух элементов четырех элементного множества, в которой порядок расположения элементов не существен. Но такие комбинации являются сочетаниями без повторений из 4 элементов по 2 и их число равно:
Сочетанием с повторениями из n элементов по k элементов называется всякая последовательность из k элементов, членами которой являются элементы n[29].
= 
Задача: сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?
Решение:
= 
= 
= 
= 
=120.В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания [28].
Конечно, применение формул облегчает подсчет числа возможных вариантов решений той или иной комбинаторной задачи. Однако чтобы воспользоваться формулой, необходимо определить вид комбинаций, о которых идет речь в задаче, что бывает сделать не очень просто.
| Виды комбинаций | Формула | |
| На «языке» комбинаторики | На теоретико-множественном «языке» | |
| Размещения с повторениями из к элементов по т элементов | Кортежи длины т, составленные из m элементов k-элементного множества (важен порядок элементов). |  |
| Размещения без повторений из к элементов по т элементов | Кортежи длиныm, составленные изнеповторяющихся элементов множества, в котором k элементов(важен порядок элементов). |   |
| Перестановки с повторениями из n элементов | Кортежи, составленные из n повторяющихся элементов множества (важен порядок элементов) | |
| Перестановки без повторений из к элементов | Размещения из k элементов по k элементов (важен порядок элементов). | Рk=k! |
| Сочетания без повторений из к элементов по т элементов | m-элементное подмножество множества, содержащего k элементов (порядок элементов не важен) |  |
| Сочетания с повторениями из элементов n-типов | Всякая последовательность из k элементов, членами которой являются элементы n(порядок элементов не важен) |  |
Данная таблица дает представления о возможности использования формул комбинаторики и теоретико-множественном смысле комбинаторике.
Таким образом, решая некоторые комбинаторные задачи, можно решить жизненные проблемы. Например, заведующему учебной частью школы – составить расписание уроков, лингвисту - учесть различные варианты значений букв незнакомого языка. Следовательно, комбинаторные задачи играют большую роль не только в обучении математике, но и вообще в жизни.
Для использования комбинаторных задач на уроках математики учителю необходимо знать методику обучения решению комбинаторных задач.
1.2 Методика обучения решению комбинаторных задач
В комбинаторных задачах заложены большие возможности для развития мышления учащихся. Кроме того, в процессе обучения решению комбинаторных задач можно расширить знания учащихся о самой задаче, познакомить их с новым способом решения задач; подготовить к решению жизненных практических проблем, научить принимать оптимальное в данной ситуации решение; организовать элементарную исследовательскую и творческую деятельность учащихся.
В процессе решения комбинаторных задач учащиеся приобретают опыт хаотичного перебора возможных вариантов. И на основе этого опыта в дальнейшем можно будет обучать детей организации систематического перебора.
Выделяют три этапа обучения комбинаторным задачам в 5 классе:
1. Подготовительный.
2. Решение задач с небольшим числом возможных вариантов.
3. Работа с графическими средствами.
На подготовительном этапе идет работа над совершенствованием мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения), которые входят в состав деятельности при решении комбинаторных задач. Особое внимание уделяется сравнению объектов, состоящих из отдельных элементов. В этом случае сравнение может быть проведено по таким основаниям, как: числу элементов; составу, входящих в объект элементов; порядку расположения элементов в объекте. Например, предлагаются следующие задания:
1. Рассмотри внимательно колечки из бусинок. Скажи, что изменяется от одного колечка к другому.
 |
Рис. 1
2. Вставить пропущенные числа:
1) 24, 21, 19, 18, 15, 13, _ , _ , 7,6 (12, 9);
2) 1, 4, 9, 16, _ , _ , 49, 64, 81, 100 (25, 36);
3) 16, 17, 15, 18, 14, 19, _ , _ (13, 20);
4) 2 5 9 (2+4):2=3
4 7 5 (5+7):2=6
3 6 ? (9+5):2=7
5) 12 (56) 16 (12+16)∙2=56
17 (__) 21 (21+17) ∙2=76
3. Решить задачу:
Мальчик написал число 86, затем увеличил его на 12, не производя записи. Как он это сделал? (перевернул его)
На втором этапе школьники учатся находить все возможные варианты в комбинаторных задачах, организуя перебор в определенной системе. Но здесь решаются задачи с небольшим числом возможных вариантов. Основная цель этого этапа – обучение школьников решению комбинаторных задач с использованием систематического перебора всех возможных вариантов [2, 43].
Каким же образом можно подвести учеников к идее организации перебора в определенной системе, как мотивировать переход от хаотичного к систематическому перебору?
Разыгрывается следующая ситуация: Маша, Саша и Даша едут в электричке на дачу. Они сидят на одной скамейке (трое детей садятся у доски на стулья в любом порядке). Детям нужно было проехать 8 остановок. Чтобы не было скучно ехать, они решили на каждой остановке меняться местами. Ставится вопрос «Смогут ли дети каждый раз меняться местами так, чтобы их новое расположение оказывалось все время отличным от предыдущих?». Ученики предлагают варианты расположения детей, они проигрываются у доски и записываются. Пока перебор осуществляется случайным образом, хаотично. После того как найдены 6 расположений, ученики стараются еще составить другой, новый вариант. Все их попытки сделать это не приводят к успеху. Встает вопрос «Почему они не нашли седьмой вариант: не могут это сделать или его не существует и уже найдены все возможные расположения?». Чтобы ответить на него, учащимся предлагается рассмотреть составленные 6 вариантов, найти и записать пары вариантов, очень похожие друг на друга. Например, можно выделить такие тройки:
М. С. Д. С. Д. М. Д. М. С.
М. Д. С. С. М. Д. Д. С. М.
Полученная последовательность вариантов анализируется. Учащиеся замечают, что все девочки сидели у окна и, когда одна из них сидит у окна, то две другие могут разместиться только двумя различными способами. Таким образам, дети убеждаются в том, что можно составить только 6 различных вариантов, других быть не может. Затем учитель просит учеников по записанным вариантам еще раз рассказать, какой способ пересаживания был выбран во втором случае. И обращает внимание на то, что, используя его, можно быстро составить варианты, не повторяя дважды одни и те же, и быть уверенным, что найдены все возможные варианты. В дальнейшем решение задач хаотичным перебором не запрещается. Но те ученики, которые проводят перебор по определенной системе, поощряются. Предложенные ими способы разбираются и подчеркиваются преимущества осуществления такого перебора. Постепенно дети убеждаются в пользе систематического перебора и приучаются его использовать.