"Педагогіка повинна орієнтуватися не на вчорашній, а на завтрашній день дитячого розвитку. Тільки тоді вона зуміє в процесі навчання викликати до життя ті процеси, які зараз лежать в ЗНР. Тільки те навчання в дитячому віці добре, яке забігає вперед розвитку і веде розвиток за собою"
Завдання справжньої педагогіки, як свідчать вищеописані дослідження, націлити дитину на свій завтрашній день. Реалізація цього завдання залежить від майстерності вчителя, від його вміння вчасно прийти на допомогу, встановити відношення співробітництва з учнем. "В співробітництві, - пише Л.В. Виготський, - під керівництвом, з чиєю-небудь допомогою дитина завжди може зробити більше і розв'язати більш важкі завдання, ніж самостійно. Центральний для всієї психології навчання момент є можливість підніматися у співробітництві на вищу інтелектуальну ступінь, можливість переходу від того, що дитина вміє, до того, чого вона не вміє.".
Заслуговує великої уваги теорія розвиваючого навчання з використанням принципу діалектичної логіки і змістовних узагальнень, розроблень групою вчених під керівництвом В.В. Давидова.
Експериментами В.В. Давидова доведено, що можна прискорювати формування розумових дій учитель дітей, починаючи зі старшого дошкільного віку, навчати їх зіставляти наочні і означувальні словами об'єкти, знаходити в них схоже і відмінне, здійснювати порівняння за певним планом і користуватися ним як засобом поширення і поглиблення знань про ці об'єкти. Досвід експериментального навчання за проектами нових програм, розроблених В.В. Давидовим і його групою, показує, що узагальнень першокласникам доступні, наприклад, елементи алгебраїчних узагальнень арифметичного матеріалу. В.В. Давидовим було встановлено, що учні можуть, починаючи з молодшого шкільного віку, досягати вищих рівнів розвитку мисленнєвих дій і операцій. дослідженнями, проведеними під керівництвом В. В Давидова Л.В. Занькова, Д.Б. Ельконіна та інших, виявлено, що вікові можливості засвоєння знань школярами, недостатньо використовуються учителями у звичайному навчанні.
На основі цих експериментів була розроблена теорія розвиваючого навчання з використанням принципу діалектичної логіки і змістовних узагальнень
Дана теорія вимагає багато способів побудови навчання, а саме, від абстрактно-загального до конкретно-часткового. Для цього в основу навчання повинен бути покладений принцип змістовного узагальнення, коли знання загального характеру передують знанням окремого і конкретного характеру Це значить, що вивчення якого-небудь розділу повинно починатись з ознайомлення учнів із загальними, абстрактними основами цього розділу знань, які в процесі із розгортанням обростають конкретними і частковими фактами і знаннями
Давидов В.В. писав: "Розв'язування конкретних завдань сучасної шкільної освіти в кінцевому рахунку зв'язано із зміною типу мислення, проектуючою метою, змістом і методами навчання. Всю систему навчання необхідно переорієнтувати з формування у дітей розумово-емпіричного мислення на розвиток у них сучасного науково-теоретичного мислення".
Процес навчання у відповідності з цією теорією відбувається цілком інакше. Введення на початковій ступені вивчення фундаментального поняття - загальне абстрактне уявлення про це поняття - в подальшому навчанні збагачується і конкретизується частинними фактами і знаннями, слугує для учнів орієнтиром для всього процесу вивчення даного поняття, воно допомагає осмислити всі раніше введені часткові поняття тим самим формуючи усвідомлену пізнавальну діяльність творчого, активного характеру.
Нема двох ізольованих між собою шляхів пізнання, із яких один був би рухом від конкретно-чуттєвого до абстрактного, а другий - від абстрактного до конкретного в мисленні. Є тільки один шлях навчально-пізнавальної діяльності, в якому емпіричне і теоретичне, живе споглядання і абстрактне мислення являють собою дві сторони, два рівні єдиного процесу сходження пізнання людини до конкретного в мисленні.
Проведені В.В. Давидовим і його групою експерементальні дослідження ефективності нових принципів побудови змісту шкільного навчання привели до вдосконалення програм і підручників. Тут йдеться не стільки про обсяг матеріалу, скільки про таку логіко-психологічну його побудову, яка б сприяла успішному засвоєнню матеріалу на належному рівні
За цим положенням і побудовані шкільні підручники з математики 1-4 класів.
Багато вчителів-новаторів (зокрема Лисенкова С. М.) використовують вчення Павлова І.П., який сказав: "В педагогіці, як і в медицині важливі поступовість і тренування". Це треба робити повільно і послідовно із усіма цілком необхідними переходами, від самого простого до середнього, а далі до складного".
Математик-педагог і психолог Груденев Я.І. формулює такий законі "Якщо навчальна діяльність виконується шляхом інтенсивних зусиль і при цьому досягається чітке розуміння матеріалу, що вивчається, або задачі, що розв'язується, то така діяльність стає для учня все більш цікавою".
Звідси випливає той факт, що для підвищення зацікавленості учнів до уроків математики необов'язково підбирати якісь спеціальні цікаві, захоплюючі задачі, як це іноді підкреслюється в методичній літературі, придумувати якісь особливі прийоми роботи. Досить підсилити активність учнів, добитись розуміння матеріалу, що вивчається, і дітям стане вчитися цікаво.
Передові вчителі виявляють багато ініціативи в розробці різних способів активізації процесу засвоєння знань учнями і, застосовуючи їх, досягають добрих результатів навчальної роботи.
Якість навчання підноситься там, де активність учнів спрямовується передусім на осмислення, розуміння того, що їм викладає вчитель, що вони самі вичитують, де провідна роль у навчанні належить їхнім мислиннєвим діям. Було доведено дослідженнями за такою організацією навчання значна частина його змісту запам'ятовується сама собою без спеціального заучування, вступає в діяльність, мимовільна пам'ять, повніше використовуються її можливості.
Навчальні успіхи учня значною мірою визначаються також ставленням дитини до школи, до навчання. Успішно вчити можна того, хто хоче вчитися.
Учень максимально розвивається тоді, коли працює на межі своїх можливостей.
Учитель повинен використовувати алгоритмізацію навчання, тобто вчити дітей дотримуватися певної системи дій, виконавши які досягається розв'язання певного класу задач. Така алгоритмізація потрібна для розроблення системи керування процесом та при моделюванні процесу.
За алгоритмічною теорією побудовані шкільні підручники з математики. Нам треба розвинути й вдосконалити оперативну пам'ять кожного, хто вчиться, знання основних фактів, без яких не може бути освіченої людини.
Знання і розуміння дидактичних і методичних функцій контролю, їх
конкретизація до учбового предмету - математики - дозволяє учителю грамотно, з найменшою витратою часу будувати перевірку, досягати необхідного ефекту.
Вчені-педагоги і методисти виділяють такі функції перевірки: контролююча, навчальна, орієнтуюча (розвиваюча), виховна.
Суть контролюючої функції перевірки полягає учитель з'ясуванні стану знань, умінь і навичок учнів, які передбачаються програмою і відповідають даному етапу навчання, а також наявність уміння застосовувати знання на практиці, наявність навичок, їх формування.
Суть навчальної функції перевірки полягає в удосконаленні знань, умінь та навичок, які перевіряються, їх систематизації, в розвитку мови і логічного мислення, уваги і пам'яті школярів, “технічних прийомів” розумової діяльності. Навчальна функція дозволяє уточнити, поглибити, усвідомити і зміцнити знання, закріпити їх.
Перший раз учитель перевіряє засвоєння нових знань після їх пояснення. Його увага направлена на розуміння і засвоєння головного і суттєвого в матеріалі. На цьому етапі перевірки учитель навчає учнів умінню виділяти суттєве, головне. В процесі перевірки з'ясовується структура учбового матеріалу. Коли діти відповідають, то разом із контролюючою функцією реалізується також і навчальна, тому що, відповідаючи, учні навчаються логічно і послідовно викладати свої знання, доводити і обґрунтовувати сказане.
Багаторазове повертання до вже вивченого матеріалу дозволяє поглибити, розширити, зміцнити знання, відпрацьовувати вміння і навички.
Роль перевірки в розвитку логічного мислення учнів велика. Розвиток логічного мислення включає цілеспрямоване формування загальних розумових дій: порівняння, узагальнення, абстрагування, класифікація, аналіз і синтез, вміння виявляти причинно-наслідкові зв'язки. Перевірка знань буде сприяти розвитку логічного мислення в учнів тільки в тому випадку, якщо відповіді на питання, які ставить учитель, вимагатимуть вправ у загальних розумових діях на конкретному матеріалі з урахуванням вікових і психічних особливостей учнів.
У процесі перевірки відкриваються можливості для розвитку “технічних" прийомів розумової діяльності. Наприклад, при підготовці до перевірки знань учні за проханням учителя обдумують план відповіді, а при її здійсненні використовують його. При цьому діти навчаються відділяти суттєве від несуттєвого, тобто систематизувати матеріал, розташовувати його в певній логічній послідовності Певний підбір завдань дозволяє за вибором найбільш раціональних прийомів їх виконання здійснити перевірку вміння застосовувати знання на практиці