Задачи в школьном курсе математики (стр. 5 из 11)

Типовые (полуалгоритмические) задачи и методы их решения

Рассмотрим две задачи, которые можно решить с помощью одной и той же теоретической базы - с помощью векторов.

ЗАДАЧА 1. Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

Пусть ABCD - ромб. Для доказательства введем два неколлинеарных вектора: ВА и ВС и выразим векторы АС и ВD, расположенные на диагоналях, через введенные:

Чтобы доказать перпендикулярность векторов АС и BD, достаточно доказать равенство нулю их скалярного произведения.

Равенство нулю скалярного произведения двух ненулевых векторов говорит о том, что косинус угла между ними равен 0°, а значит, угол между векторами - прямой, т. е. прямые, на которых располагаются рассматриваемые векторы, перпендикулярны.

ЗАДАЧА 2. Доказать с помощью векторов свойство средней линии трапеции.

Пусть АВСО - трапеция, точки Е и F-середины отрезка АВ и CD соответственно.

Введем векторы и выразим вектор EF из двух многоугольников:

; .

Сложим почленно полученные равенства:

,

.

Последнее равенство можно интерпретировать следующим образом: т. к. векторы ВС и AD коллинеарны по определению трапеции, то и вектор EF также коллинеарен им, т. к. является линейной комбинацией этих векторов, а значит, отрезок EF параллелен основаниям трапеции. Т. к. векторы ВС и AD сонаправлены, то длина вектора

равна сумме длин векторов ВС и AD и, следовательно, длина вектора EF равна полусумме длин векторов ВС я AD . А значит, длина отрезка EF соответственно равна полусумме длин отрезков ВС и AD .

Что можно заметить на примере решения приведенных двух задач? При их решении можно выделить одинаковую схему - одинаковые шаги решения, а именно:

введение удобным образом векторов;

переформулирование условия и требования задачи на язык векторов;

решение вновь сформулированной задачи с помощью векторного аппарата (определений, законов действий и т. д.);

интерпретирование результатов, полученных на языке векторов, на обычный геометрический язык.

По выделенной схеме решается как первая, так и вторая задача. По этой же схеме с помощью векторного аппарата можно решить многие геометрические задачи. Перечисленные шаги образуют прием решения задач векторным методом.

Этот прием учитель может представить ученикам в готовом виде. Но большую познавательную ценность имеет работа по самостоятельному выделению учащимися под руководством учителя шагов приведенного приема. Некоторые методисты отрицательно относятся к решению типовых задач как к натаскиванию. Однако учащиеся, знакомые с приемом, умеют решить не одну конкретную задачу, а целый класс задач, к которым они подходят с более высоких позиций обобщения учебного материала. Материал лучше структурируется, повышаются его уровень системности, возможности учащихся при решении задач. Ученик, не владеющий наиболее распространенными типами задач, не сможет решить ни одной нестандартной задачи или будет делать это со значительно большим усилием, чем тот, у кого в запасе владение многими типами задач.

Четыре выделенных шага образуют прием по решению задач данного типа. Этот прием можно отнести к полуалгоритмическим приемам, т. к. знание его не обязательно приведет решающего к получению верного результата, но может существенно облегчить поиск. Алгоритмические предписания являются той базой, владение которой облегчает решение задач.

В настоящее время учителями и методистами разработано много готовых приемов решения задач, но осталось место и для творчества.

Как организовать работу по выделению приема решения задач и его применению? Подготовка к приему может быть организована задолго до явного введения самого приема. Учащиеся решают задачи, а учитель старается акцентировать их внимание на средствах решения, на последовательности одних и тех же шагов. Этот период можно назвать пропедевтическим, подготовительным в формировании приема. Следующий этап - этап явного введения приема (предписания) с помощью учащихся на основе сравнения процессов решения выделенных задач. Далее организуется работа по закреплению шагов предписания и применению всего приема.

Самостоятельно составленное учителем предписание требует предварительной проверки на решении нескольких задач и внесения в него при необходимости корректировки.

В качестве еще одного примера приведем предписание по решению задач с помощью составления уравнений.

1. Определи, сколько и какие объекты, процессы, ситуации рассматриваются в задаче.

2. Укажи величины, которые характеризуют каждый объект, каждый процесс, ситуацию.

3. Установи зависимости, существующие между выделенными величинами.

4. Укажи, какие из выделенных величин известны.

5. Укажи неизвестные величины,

6. Определи зависимости между неизвестными величинами.

7. Выбери одно из неизвестных за x рациональным образом.

8. Вырази остальные неизвестные через х.

9. Выдели условие, оставшееся для составления уравнения.

10. Составь уравнение и реши его.

11. Сделай проверку и запиши ответ.

Рассмотрим применение предписания на конкретном примере.

ЗАДАЧА. Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В, отстоящего от А на расстоянии 20 км, выехал мотоциклист. Скорость велосипедиста 12 км/ч, мотоциклиста 16 км/ч. На каком расстоянии от пункта А мотоциклист догонит велосипедиста?

Ответ на первый вопрос предписания предполагает появление двух строк таблицы:

Участники

Велосипедист

Мотоциклист

Ответ на второй вопрос предписания обосновывает появление трех столбцов таблицы:

Участники	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Велосипедист
Мотоциклист

При ответе на третий вопрос ученики могут в устной форме указать зависимости между выделенными величинами. В отдельных случаях возможна их письменная запись. При ответе на четвертый вопрос в таблицу вносятся два числовых значения скорости - 12 и 16 км/ч. Ответ на пятый вопрос предполагает расстановку знаков вопроса в таблице вместо всех остальных величин. Ответ на шестой вопрос дополняет таблицу двумя отношениями:

Участники	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Велосипедист	12	?	? на 20 меньше
Мотоциклист	16	?	? =

Шестым шагом предписания заканчивается анализ условия задачи, заполнив таблицу, учащийся воспринял структуру задачи и выделил ее условия.

Ответы на вопросы 7-9 помогают ученику в построении второй таблицы, которая приводит его к составлению уравнения:

Участники.	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Велосипедист	12	X	12х на 20 меньше
Мотоциклист	16	X	16х

Без пропедевтики приведенного приема, без специального обучения учащихся выделению процессов, величин, их характеризующих, установлению взаимосвязей между ними, составлению и уравниванию выражений введение приема нецелесообразно.

В заключение можно добавить, что подготовка учащихся к введению приведенного предписания, само введение и обучение пользоваться им могут осуществляться учителем на любом подходящем материале.

Попытайтесь самостоятельно построить стратегию обучения учащихся этому приему на разных этапах его формирования: на подготовительном этапе, на этапе введения в явном виде и на этапе закрепления.

Обучение соответствующим приемам - наиболее эффективный путь обучения решению задач различных типов.

Эвристические методы решения задач

Задачи можно разделить на стандартные и нестандартные. Нестандартная задача – это задача, решение которой не является для решающего известной цепью известных действий. Для ее решения учащийся сам должен изобрести (составить, придумать) способ решения.

Как производится поиск решения новой, нестандартной задачи? Универсального ответа на этот вопрос нет. Однако в каждой задаче, как в клубке ниток, можно обнаружить ту ниточку, потянув за которую, можно распутать весь клубок. Такой ниточкой является основная идея решения, один из общих методов решения, которые принято называть эвристиками. Эвристиками называются и отдельные методы решения задач, и учение об общих методах поиска решения задач. Эвристический метод-прием решения задачи не является приемом в полном смысле этого слова - системой определенных операций. Это, как уже сказано, основная идея решения задачи. Знание эвристик не дает гарантии того, что будет решена любая задача. Эвристики лишь помогают квалифицированно делать попытки поиска решения. При решении некоторых задач может быть использовано несколько эвристик. Учителю необходимо знание эвристик для того, чтобы помочь учащимся обнаружить их в собственной (учащихся) деятельности, разобраться в сущности методов и научиться ими пользоваться. Приведем примеры наиболее часто используемых эвристик и соответственно задач, которые решаются с их помощью.