В задаче выделяют основные компоненты:
1. Условие — начальное состояние;
2. Базис решения — теоретическое обоснование решения;
3. Решение — преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого;
4. Заключение — конечное состояние.
Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3).
Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) — математические объекты, то задача называется чисто математической, если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей.
На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов строят дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.
Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны.
Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов. Если неизвестны два компонента, задача назевается поисковой, а если три — проблемной.
Если рассматривать задачи как объект мыслительной деятельности учащихся, важно учитывать характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников при решении задач, которое во многом определяется указанными связями.
Классификация задач, учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников:
— алгоритмические задачи;
— полуалгоритмические задачи;
— эвристические задачи.
Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для решения которых имеется алгоритм. Например, задача на нахождение гипотенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по формуле Пифагора. Применение алгоритма быстро и легко приводит к желаемому результату.
Полуалгоритмические задачи — задачи, правила решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в качестве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, известны две стороны треугольника и высота, опущенная на третью сторону. Необходимо найти периметр треугольника.
Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится «сворачивать» знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он начинает применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.
Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не является очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высоты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треугольника.
При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы.
Алгоритмические методы решения задач
Значительное количество задач предполагает при своем решений не творческую деятельность, а применение в основном определенного правила, формулы, определения, теоремы.
Например, для решения любого уравнения первой степени необходимо известные слагаемые перенести в правую часть, а слагаемые, содержащие неизвестные, перенести в левую часть, привести подобные члены и обе части уравнения разделить на коэффициент при неизвестном, если он отличен от нуля. Если он равен нулю, то поступают известным образом.
Приведенное правило - предписание алгоритмического типа, или алгоритм решения линейного уравнения. Правила сравнения чисел, действий над числами в различных числовых множествах, решения линейных, квадратных уравнений, неравенств - все это примеры алгоритмов. Под алгоритмом понимается точное общепонятное предписание о выполнении в определенной последовательности операций для решения любой из задач, принадлежащих некоторому классу.
Алгоритм может быть задан в виде таблицы, правила, формулы, определения, описания. Алгоритм может регламентировать действие с различной степенью подробности - свернутости, в зависимости от того, кому он предназначается. Если алгоритм предъявлен в форме последовательности команд, то это готовая программа действия. Приведем пример. Чтобы сложить десятичные дроби, нужно: 1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; 3) выполнить сложение, не обращая внимания на запятую; 4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях (Випенкин Н.Я. и др. Математика 5- М., 2000).
Если алгоритм задан в виде формулы, правила, таблицы, определения, то программы нет. Ее предстоит создать решающему задачу. Рассмотрим в качестве примера определение решения системы неравенств с переменной как значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство. Определение подразумевает следующие шаги решения системы неравенств: 1) решить каждое неравенство; 2) найти пересечение полученных множеств.
Алгоритмы можно разделить на алгоритмы распознавания и преобразования. Признаки делимости, рассмотренные ранее алгоритмы подведения под определение и под понятие являются примерами алгоритмов распознавания. Алгоритмы по применению формул являются алгоритмом» преобразования. Однако при применении конкретной формулы, например, квадрата суммы двух чисел, вначале происходит узнавание формулы, доказательство того, что выбор формулы сделан правильно, а затем производится собственно преобразование: актуализация формулы и использование ее по шагам. Описанная деятельность состоит из следующих шагов: 1) найти первый член двучлена; 2) найти второй член двучлена; 3) возвысить первый член двучлена в квадрат; 4) составить произведение первого и второго членов двучлена; 5) удвоить результат предыдущего шага; 6) возвысить второй член двучлена в квадрат; 7) результаты третьего, пятого и шестого шагов сложить.
Значительное число различных правил в школьных учебниках математики в последнее время сообщается учащимся в форме алгоритма с выделенной последовательностью шагов. Использование правила в этом случае представляет собой меньшую трудность для учащихся, чем использование правила при отсутствии выделенных шагов или если какие-то операции - шаги действия в предписании пропущены, только подразумеваются и должны быть восполнены учащимися самостоятельно.
Рассмотрим правило сложения чисел с разными знаками в следующей форме: чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля вычесть меньший; 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.
Этот алгоритм требует от школьника доработки, т. к. в нем не обозначены шаги: найти модуль каждого числа; сравнить модули и выделить число с большим модулем; определить знак числа, имеющего больший модуль. Эти шаги отдельными учащимися легко выполняются, а для других их выделение представляет существенные трудности.
В отдельных случаях операции, входящие в состав действий, приведены в учебниках в описательной форме или показаны на примерах, и для осуществления действий учащимся требуется выделить операции - отдельные шаги действия самостоятельно, как, например, при составлении пропорций при использовании подобия треугольников.
Проблема составления алгоритмов по изученному материалу связана с рядом важнейших проблем обучения математике: применение теоретических знаний на практике и развитие алгоритмического мышления. Под алгоритмическим мышлением понимается особый аспект культуры мышления, характеризующийся умением составлять и использовать различные алгоритмы.
Составлению, выделению алгоритмов необходимо специально обучать.
Это может происходить с помощью проведения обобщений при решении нескольких аналогичных задач. Необходимо обучать чтению формул словами, необходимо обучать переходу от речевой, формы в аналитическую и обратно, необходимо обучать строить программы действий в тех случаях, когда материал в книге или в рассказе предъявлен в описательной форме. Это и будет означать обучение применению теоретических знаний на практике и развитие алгоритмического мышления. Необходимо также обучать разворачивать, дополнять алгоритмы, предъявленные в готовой форме.
При использовании готовых алгоритмов целесообразно пользоваться компактным методом. Метод состоит в том, что (алгоритм) правило произносится по частям, на которые оно разбито по смыслу, и каждая операция выполняется вслед за произнесением соответствующего текста (пример приведите самостоятельно). Тем самым обеспечивается сознательное усвоение соответствующего правила. Компактный метод противопоставляется раздельному, когда произнесение правила целиком и его применение следуют друг за другом.
Вторая рекомендация по использованию алгоритмов вытекает из положений теории деятельности. Она заключается в требовании проведения всех операций, содержащихся в алгоритме (правиле) во внешнем плане и в развернутой форме, т. е. в написании и проговаривании всех операций без пропусков.