Задачи в школьном курсе математики (стр. 10 из 11)

Аналогично можно связать с системой ранее изученного любое вновь изучаемое содержание.

Третий вид упражнений упражнения на систематизацию материала, полученного при выполнении упражнений первого и второго видов. Это могут быть упражнения на классификацию понятий, на установление генетических взаимосвязей между понятиями.

Например, установить зависимость между понятиями «подобие», «движение», «преобразование фигуры» (провести стрелки от более общего понятия к менее общему).

Составление генеалогических деревьев для понятия предполагает связывание в систему нескольких понятий раздела. Например, для понятия «угол» родословная таблица может выглядеть следующим образом:

Упражнениями третьего вида могут быть упражнения: на установление взаимосвязей между теоремами, например, указать взаимосвязь между теоремами Пифагора и косинусов; на построение родословных теорем, выделение свойств и признаков понятия, на группировку задач, теорем по методам их решения, доказательства.

Возможна систематизация материала по различным основаниям: выделение всех известных свойств некоторого понятия, всех полученных признаков, различных инвариантов преобразований, выделение сходного и различного в определениях, теоремах, методах решения, проведение сравнения и обобщения. Например:

- выделить все известные свойства подобных треугольников:

- сформулировать все признаки подобных треугольников;

- перечислить преобразования фигур, которые сохраняют неподвижной хотя бы одну точку;

- указать различие в положении соответствующих при гомотетии точек, если к > I, к = I и к < I;

- выделить общие свойства равностороннего треугольника и квадрата;

- сравнить свойства равных и подобных треугольников;

- сравнить признаки равных и подобных треугольников;

- привести примеры понятий, в определении которых используется понятие равных отрезков;

- привести возможные различные определения понятия квадрат и т. д.

Систематизации знаний, их гибкости способствует выполнение упражнений, направленных на выявление возможных различий в чем-то сходных ситуаций, требующих использования различных теоретических сведений. Пример такого упражнения: покажите, как следует провести плоскость сечения, чтобы в сечении куба этой плоскостью получить: 1) квадрат; 2) прямоугольник; 3) трапецию; 4) четырехугольник, не имеющий параллельных сторон; 5) равносторонний треугольник; 6) равнобедренный треугольник; 7) разносторонний треугольник; 8) прямоугольный треугольник.

Уровни систематизации материала при этом могут быть различными: локальная систематизация на уровне двух фактов, систематизация внутри одной темы, внутри нескольких тем, внутри всего предмета, между предметами.

Формы систематизации (уроки по обобщению и систематизации материала) описаны в методической литературе.

При отборе и выполнении системы упражнений важно соблюдение принципа последовательности. Этот принцип лежит в основе составления программ, написания учебников. При составлении и подборе систем упражнений он проявляется в том, что упражнения располагаются в порядке возрастания сложности: от менее сложного к более сложному, от менее трудного к более трудному, от более известного к менее известному. При этом в предлагаемых упражнениях производится вариация несущественного. Выделим, например, что может и должно варьироваться при изучении формулы разности квадратов двух выражений: это и обозначения переменных и наличие различных коэффициентов в выражениях, состав каждого выражения, порядок написания компонента вычитания и т. д. При этом следует придерживаться традиционной рекомендации: при переходе от одного упражнения к другому добавлять шаги решения следует постепенно, по одному. «По одной трудности за раз», как говорил К.Д. Ушинский. Это необходимо для того, чтобы при выполнении упражнений не требовалось существенных обобщений, значительных скачков мысли, на которые способны далеко не все учащиеся. Система упражнений по упомянутому правилу может быть следующей: а)

; б) х2 - у2; в) х4 - у2; г)

; д)

; е)

; ж)

; з) .

Перечисленные упражнения - это лишь представители видов, сама система содержит несколько упражнений каждого вида. При этом следует иметь в виду, что умение выполнить действие в стандартной ситуации не обеспечивает овладение этим действием в особенных случаях. Другими словами, без наличия упражнений на различные варианты широкого переноса нельзя обеспечить обобщенного умения учащихся. Ученику, не встречавшемуся с различными вариациями упражнений, приходится совершать акт творчества, на которое способен не каждый ученик.

Какие особые случаи могут иметь место при рассмотрении формулы разности квадратов двух выражений? Это применение формулы, когда одно из выражений или даже оба равны некоторому числу, в частности единице, когда слагаемое с минусом стоит на первом месте, когда одно или оба выражения являются двучленами или многочленами.

Значит, имеющийся набор упражнений следует дополнить упражнениями следующего вида:

100-с2;

; 812-92; ;

и т. д.

Далее рассмотрим реализацию педагогического принципа прочности знаний при составлении систем упражнений. Принцип проявляется в наличии однотипных упражнений. По данным ряда психологов, чтобы у учащихся произошло самостоятельное обобщение, в некоторых случаях необходимо более ста однотипных упражнений. У сильных учащихся такое обобщение может происходить «с места», после решения единственного упражнения.

Не все учебники учитывают принцип прочности. В курсе алгебры седьмого класса при изучении формулы а2- в2 только в соответствующем разделе учебника приведено более сотни упражнений, а в пособии по геометрии А.В. Погорелова для закрепления, например, формул

и - ни одного.

Отсутствие простейших однотипных упражнений сказывается на результатах обучения слабых учащихся.

При подборе или составлении однотипных упражнений необходимо руководствоваться закономерностью появления неверных ассоциаций. Она состоит в том, что если в процессе обучения выполняются три условия: 1) учащийся выполняет задания одного типа; 2) некоторые несущественные особенности заданий неизменно повторяются; 3) учащийся может получить верный ответ и в том случае, когда не осознает эту особенность, то степень осознания этой особенности снижается.

Пример.

.

Ответ получен правильный. Ошибка не проявилась. При наличии сходных упражнений, например,

и т. д. неверная ассоциация закрепляется. Благоприятствует образованию неверной ассоциации то обстоятельство, что действие ускоряется, укрупняется, контроль сознания под влиянием однотипных упражнений ослабевает. Упрочение ошибочной ассоциации начинается после трех однотипных упражнений.

Созданию неверных ассоциаций препятствует система упражнений, включающая контрпримеры. Я.И. Груденов называет контрпримером любую задачу, любое упражнение, которое помогает выявить, а значит, устранить неверную ассоциацию. Такое использование термина «контрпример» отличается от принятого в логике. Это, если можно так выразиться, дидактический контрпример. В последнем случае таким контрпримером является система вида:

.

Следовательно, каждое третье упражнение должно быть контрпримером, т. е. варьировать несущественные признаки системы упражнений.

В качестве подобного рода контрпримеров могут быть использованы различные взаимообратные упражнения. Еще И. П. Павлов доказал, что применение контрастных перемежающихся раздражителей вместо одного является рациональной основой обучения. Обратная задача, упражнение должны решаться вслед за прямой, пока информация находится в активной форме, при этом особенно благоприятным моментом для вторичного включения сознания, т. е. для решения обратной задачи являются ближайшие 30-40 минут. Важным моментом является наличие в системе упражнений полного цикла взаимно обратных упражнений.

Создание такого цикла упражнений предполагает наличие нескольких этапов: 1) изменение форм действий на обратные при сохранении данных; 2) выполнение обратного действия с последующей проверкой с помощью прямого; 3) выполнение упражнений без всякого порядка, проверка осуществляется в отдельных случаях. Примерами обратных упражнений к заданию разложить выражение

на множители будут задания на восстановление записи: , , .