Разработка факультатива "Оптимальный портфель ценных бумаг" (стр. 3 из 4)

Как показали проведенные уроки, данный урок занимает 2 академических часа. ]

1.2.3 Домашнее задание

Задача 5. Случайные величины заданы таблицей распределения. Наити их ковариацию и коэффициент корреляции.

1.3 Третий урок

1.3.1 Проверка домашнего задания

1.3.2 Введение понятий вектор, матрица

Пусть дан вектор на координатной плоскости. Как его можно записать? (Координатами (х,у).) А в пространстве? (x,y,z)А в каком пространстве живем мы? (4, (x,y,z,t)). Пара чисел (x,y) называется двухмерным вектором, тройка чисел (x,y,z) - трехмерным, (x,y,z,t)- четырехмерным. Их вводят для краткости записей и рассматривают как один элимент. Вектора можно обозначать, опять же для краткости.

В общем виде можно вектор можно записать так

. Это n-мерный вектор. Вектора бывают и бесконечномерные, но их мы рассматривать не будем.

Задание 1. Приведите примеры векторов.

Каким образом записывают результаты футбольных матчей? (При помощи таблиц.)

Пусть в группе В играли пять команд по круговой системе. Результаты игры отображены в таблице.

Где 2- победа,1- ничья,0- поражение.

Эту таблицу также можно назвать матрицей.

Опр. Таблицу вида

будем называть матрицей размерности

.

Для краткости будем обозначать матрицы большими латинскими буквами.

Вектор является частным случаем матрицы при m=1.

1.3.3 Умножение матриц. Свойства

Как сложить две матрицы?

Опр. Суммой матриц

и размерности называется матрица размерности .

Пример.

Как суммировать матрицы вы уже знаете. Теперь придумайте как умножить матрицу на число.

Опр. Произведением

матрицы размерности и числа называется матрица размерности .

Пример.

Кроме введенных операций нам понадобится умножение матриц.

Опр. Произведением матриц

и называется матрица , где

Необходимо показать и озвучить практический способ умножения матриц: строка умножается на столбец. Берем первую строку матрицы А, ставим ее вертикально напротив первого столбца матрицы В, умножаем элементы этой строки и столбца, которые стоят напротив др.др., складываем произведения. Это первый элемент матрицы С. Теперь таким же образом умножаем эту строку на второй столбец - получаем второй элемент первой строки матрицы С. И т.д. Получим первую строку новой матрицы. Для того, чтобы получить вторую строку, проделываем тоже самое со второй строкой матрицы А.

Пример.

Задача 1. Выполнить умножение.

1.3.4 Домашнее задание

Задача 2. Выполнить умножение.

1.4 Четвертый урок

1.4.1 Проверка домашнего задания

1.4.2 Транспонирование

Опр. Замена строк матрицы на ее столбцы (а стольбцов на строки) называется транспонированием. Обозначается

.

Пример.

1.4.3 Определитель матрицы

Поставим каждой матрице по определенному правилу в соответствие число и назовем его определителем матрицы.

Например:

Таким образом вычисляют определители двхмерной и трехмерной матриц. Эта схема вычисления называется мнемоническим правилом. Для четырехмерной матрицы не удобно составлять такие схемы. Существует строгое правило нахождения определителя матрицы n-го порядка. Но мы будем работать только с трехмерными матрицами.

Необходимо обратить внимание на то, что матрица пишется в круглых скобках, а определитель матрицы - в прямых.

Задача 1. Найти определители матриц А и

из Примера.

Обратить внимание, на то что определитель матрицы не совпадает с определителем транспонированной матрицы.

Задача 2. Найти определители матриц.

1.4.4 Домашнее задание

Задача 3. Найти произведение матриц А и В из задачи 2. Вычислить определитель полученной матрицы.

Задача 4. Найти значение выражения

. Матрицы из задачи 2.

Необходимо сказать, что последовательность выполнения операций, такая же как и для чисел, но первым выполняют транспонирование.

1.5 Пятый урок

1.5.1 Проверка домашнего задания

1.5.2 Обратная матрица

Опр. Если

, то обозначают и пишут .

Где

- матрица с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах. Показать главную диагональ.

Для того, чтобы найти обратную матрицу нам необходимо найти т.н. алгебраическое дополнение.

Пусть дана матрица

число

называется алгебраическим дополнением элемента

. Алгебраическое дополнение можно найти для любого элемента матрицы.

Опр. Алгебраическим дополнением элемента

называется произведение на определитель матрицы после вычеркивания из нее i-й строки и j-го столбца.