Важно показать учащимся обязательность учета именно всей системы необходимых и достаточных признаков. Из школьной практики известно, что одна из типичных ошибок учащихся состоит в том, что они при подведении заданных объектов под соответствующие понятия учитывают лишь некоторые признаки из числа необходимых и достаточных и поэтому относят к понятию и такие предметы, которые имеют с объектами данного класса лишь некоторые общие признаки.
Так, в одном из опытов, проведенном в московской школе, учащиеся VI класса безошибочно воспроизводили определение окружности, но когда им показали эллипс и замкнутую кривую неправильной формы и спросили, можно ли эти фигуры назвать окружностями, они ответили утвердительно. Беседа с этими учащимися показала, что при распознавании окружностей они опираются не на всю совокупность признаков, которые указаны в определении окружности и которые они заучили, а только на замкнутость кривой и наличие во внутренней области точки, которую они называют центром.
В связи с этим особенно важно специально поработать над системой свойств, в совокупности являющихся достаточными для определения объектов данного класса. При этом обязательно надо показать, что учет лишь одного из свойств данной системы не позволяет определить объекты однозначно, так как это свойство может быть общим для предметов разных классов.
В начальной школе эта работа может быть проведена на таких, например, понятиях, как луч и отрезок. И луч, и отрезок—часть прямой. Это их общее свойство. По этому свойству нельзя определить, с чем мы имеем дело—с лучом или с отрезком. Для точного опознания необходимо учесть другие необходимые свойства этих объектов: луч ограничен с одной стороны, а отрезок—с двух сторон. Только совокупность двух данных свойств позволяет однозначно опознать эти объекты.
Все указанные компоненты приема подведения под понятие связаны с определенными предметными знаниями и специфическими действиями, характерными для данного предмета, в нашем случае—геометрии. В самом деле, учащиеся, проверяя наличие искомых признаков у данного им объекта, могут использовать различные методы, характерные для математики, химии, русского языка и т. д. Но во всех случаях общие требования к подведению (проверка наличия определенной системы признаков) задает логика. Логика же задает требования и к оценке полученных результатов.
Эти требования можно сформулировать следующим образом. Предмет относится к данному понятию в том и только в том случае, когда он обладает всей системой необходимых и достаточных признаков.
Правило подведения под понятие и умение корректно пользоваться им при работе с любыми понятиями относится к логическому компоненту данного приема.
Учащиеся, получая задания на подведение объектов под различные понятия, постепенно усваивают этот важный прием.
При работе с этим приемом особое внимание надо уделить третьему случаю: ответ неопределенный. Как мы видели, если прием подведения под понятие не выступает в качестве специального объекта усвоения учащихся, выполнение этого приема вызывает затруднения вплоть до старших классов; при этом задачи с неопределенными условиями неизменно дают большой процент ошибок.
Этот случай трудней усваивается, чем другие, даже при целенаправленной работе с этим приемом. Отсутствие указаний о том или ином признаке учащиеся обычно расценивают как отсутствие самого признака. Например, в задаче: «Даны две пересекающиеся прямые. Будут ли они перпендикулярными?»—учащиеся дают отрицательный ответ. Они мотивируют это тем, что в условии не сказано, что прямые пересекаются под прямым углом. Ответ неверный, так как в условии не сказано, что прямые пересекаются не под прямым углом. Следовательно, об этом признаке мы не получаем никакой информации, что и создает ситуацию неопределенности: может быть, угол прямой, а может быть, не прямой. В силу этого правильный ответ в таких задачах будет неопределенный.
Говоря о действии подведения под понятие, мы подчеркивали, что объект относится к тому или иному понятию тогда и только тогда, когда обладает всей системой необходимых и одновременно достаточных признаков. Но так бывает только при подведении под понятия, где признаки связаны союзом «и — и» (конъюнктивная структура понятия). Кроме них есть понятия с другой структурой признаков: связанных союзом «или—или» (дизъюнктивная структура признаков). В этом случае правило подведения под понятие другое: для отнесения предмета к данному классу предметов достаточно наличия лишь одного из указанных признаков. При работе с учащимися эти два случая подведения под понятие необходимо различать. Если же этого не делать, то у учащихся может не сформироваться правильных приемов подведения, и они будут ошибаться.
Как мы видели, задачи на подведение под понятие с дизъюнктивной структурой признаков вызывают у учащихся серьезные трудности. Больше того, они доставляют немало хлопот и взрослым, если они не владеют приемом подведения под понятие с дизъюнктивной структурой признаков. Характерно, что задачи «Я тебе мать, а ты мне не дочь», «У двух зрячих есть слепой брат, но у него нет братьев» и т. п. нередко относят к головоломкам. Какой же логический прием подведения под понятие требуется в подобных случаях? Схематически характер связей в данном случае следующий:
Если в ранее показанном случае отсутствие хоть одного признака означало не принадлежность предмета к данному понятию, то в данном случае это не так: если нет признака В, то мы не имеем права делать отрицательный вывод. Мы должны обратиться к признаку С. Так, в случае понятия «мать» отсутствие дочери не мешает быть матерью, для этого достаточно иметь сына.
Правило подведения под понятие с дизъюнктивной структурой признаков уже другое: «Предмет относится к данному понятию, если он обладает хотя бы одним признаком из числа указанных. Если же предмет не обладает ни одним из этих признаков, то он не относится к данному понятию. Если ни про один из признаков нет точных сведений (не известно, есть он или его нет), то мы не можем сказать, относится или не относится этот предмет к данному понятию».
Если про один из признаков известно, что он отсутствует, а про другие признаки нет точных сведений (не известно, есть они или их нет), то также нельзя установить, относится или не относится этот предмет к данному понятию.
Знакомство с этим приемом можно начать с указанных простых житейских примеров, а потом уже перейти и к учебному материалу. Так, когда учащиеся изучают виды предложений, то ряд понятий имеет дизъюнктивную структуру признаков. Примером могут служить неполные предложения. Для отнесения предложения к этому понятию достаточно одного из двух признаков: или нет подлежащего, или нет сказуемого. Таким образом, этот прием мышления необходим для успешного усвоения учебного материала. и его формирование следует начинать уже в начальной школе.
Если при усвоении нескольких понятий, одни из которых имеют конъюнктивную структуру признаков, а другие—дизъюнктивную, учитель научит учеников логически строго выполнять действие подведения под понятие, то в дальнейшем это действие может успешно использоваться при работе с любыми понятиями (как с конъюнктивной, так и дизъюнктивной структурой признаков).
Уже в начальной школе может быть начата работа над определениями. Но этому должна предшествовать работа по усвоению отношен и и между родовыми и видовыми понятиями. При этом особое внимание следует обратить на то, что видовое понятие обязательно обладает всеми свойствами родового, а родовое показать как следующую ступень обобщения. Разумеется, следует при этом еще раз подчеркнуть и то, что в определение входят только необходимые и одновременно достаточные признаки.
Без понимания видо-родовых отношений учащиеся не смогут полноценно усвоить программный материал. Так, уже при обучении детей звуковому анализу слова учитель вводит целую систему видо-родовых отношений: вначале вводится понятие о звуке, затем—о гласных и согласных звуках, а согласные, в свою очередь, делятся на мягкие и твердые. Как показал наш опыт работы в одном из детских садов Москвы (детсад № 936), дети шести лет способны понять видо-родовые отношения. Характер этих отношений можно зафиксировать в виде трех цветных кружков, вписанных один в другой. Например, желтый круг означает все множество звуков, красный круг внутри желтого означает гласные звуки, зеленый круг на фоне желтого — согласные звуки, а мягкие и твердые согласные можно обозначить кругами разного цвета на фоне кругов, обозначающих согласные. В этом случае дети наглядно будут видеть, что мягкие (твердые) звуки являются и согласными, и звуками.
Могут быть показаны учащимся и отношения соподчинения. Так, в курсе природоведения можно показать, что к понятию лиственных деревьев относятся самые разные виды, а лиственные, в свою очередь, соподчинены с хвойными: их вместе объединяет понятие «дерево». Все это не представит особого труда для учителя и заложит основу для формирования более сложных приемов логического мышления, в том числе—для понимания структуры определений, с которыми учащиеся работают на протяжении всего школьного обучения.
В настоящее время учащиеся ни в одном из изучаемых предметов не знакомятся с логической структурой определений: они просто заучивают огромное число различных конкретных определений. И если ученик что-то забывает в определении, он не может путем логического рассуждения восстановить забытое, так как не знает структуры определений, не владеет правилами их построения. В силу этого даже в старших классах школы учащиеся теряются, когда перед ними встает задача по оценке предложенных определений. Так, в исследовании психолога Н. А. Подгорецкой учащимся десятых классов было предложено 20 определений простейших геометрических понятий: ромб, квадрат, прямоугольник, параллелограмм, четырехугольник. Среди предложенных определений были как правильные, так и ложные. Учащиеся должны были указать как те, так и другие. Ошибочные определения содержали такие дефекты, как пропуск ближайшего родового понятия (определение квадрата, например, как геометрической фигуры), наличие только лишь необходимых признаков, неточное указание видовых признаков и др.