Начинать работу по формированию приема сравнения надо с выделения содержания этого приема, т.е. с выделения слагающих его действий. Сравнение будет корректным только тогда, когда оно используется, во-первых, при сопоставлении однородных предметов и явлений действительности; во-вторых, когда сравнение производится по существенным признакам. Сравнение предполагает умение выполнять следующие действия: 1) выделение признаков у объектов; 2) установление общих признаков; 3) выделение основания для сравнения (одного из существенных признаков); 4) сопоставление объектов по данному основанию.
Если учитель уже научил детей выделять в предметах общие и существенные свойства, то новыми будут лишь два последних компонента: выбор признака, по которому предполагается сравнение, и проведение сравнения именно по этому признаку. Следует также подчеркнуть, что сравнение может идти как по качественным характеристикам того или иного свойства (например, цвету, форме), так и по количественным характеристикам: больше— меньше, длиннее — короче,, выше — ниже и т. д.
При количественном сравнении необходимо наличие единого образца (меры), с помощью которой и производится сравнение. Это очень важно подчеркнуть, так как учащиеся нередко в средних и даже старших классах это требование не учитывают:
Сравнивают, например, дроби без приведения к общему знаменателю, неверно используют метрическую систему мер.
Вначале в качестве меры может выступать один из сравниваемых предметов, в котором предварительно выделяется то свойство, по которому эти предметы будут сравниваться. Например, учитель может вызвать двух учеников и предложить классу сравнить их по росту. На вопрос учителя: «Как это сделать?» — ученики обычно отвечают: «Пусть померяются». В таких случаях один из сравниваемых предметов выступает в качестве меры. Такое сравнение называется непосредственным. На его основе формируется сравнение опосредованное. Особенность этого вида сравнения состоит именно в том, что сравнение предметов происходит не непосредственно, а с помощью меры—опосредованно. При обучении детей работе с мерой очень важно, чтобы они осознали адекватность (соответствие) меры тем свойствам, по которым происходит сравнение: предметы по длине сравниваются с помощью меры длины, по массе—с помощью меры массы, по объему — с помощью меры объема и т. д.
Следующий шаг в формировании логического мышления учащихся — знакомство их с признаками необходимыми и достаточными. Научить учащихся различать эти признаки не просто, так как объективно их отношения весьма сложны, Нередко даже взрослые думают, что всякий достаточный признак является одновременно признаком необходимым. Фактически же это не так. Вот один пример. Если у человека высокая температура, то все понимают, что человек болен. Это означает, что признак «высокая температура» является достаточным для признания человека больным. Однако этот признак вовсе не является необходимым, так как немало болезней протекает без температуры. Следовательно, отсутствие температуры не означает отсутствие болезни: человек может быть болен, а температуры v него нет.
Учащиеся даже в старших классах допускают множество ошибок, связанных с неумением дифференцировать эти два вида признаков. В исследовании Г. И. Харичевой учащимся седьмых классов были предложены специальные задания, выполнение которых предполагает понимание характера признаков—необходимые, достаточные, необходимые и одновременно достаточные. Вот одно из этих заданий: «Известна теорема: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны». Объясните, какая из двух формулировок этой теоремы справедлива: 1) если четырехугольник есть ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны; 2) если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то данный четырехугольник есть ромб». Результаты выполнения этих заданий показали, что только 24% учащихся смогли правильно выполнить их. Что касается приведенного задания, то с ним справились 50% учащихся (выбрали в качестве верного первое определение). 26% учащихся ответили, что оба предложенных определения являются правильными. Характерно, что эти учащиеся вообще не видели разницы в предложенных определениях. Они считали, что в обеих формулировках говорится об одном и том же, «только слова переставлены местами». Это означает, что они не понимают разницы между признаками необходимыми и признаками достаточными.
Не приводя примеров, укажем, что непонимание разницы между необходимыми и достаточными, необходимыми и одновременно достаточными признаками является широко распространенным явлением среди учащихся старших классов. Происходит это потому, что ни в одном из классов, ни в одном из изучаемых предметов эти важные логические знания не были предметом специального усвоения. Вместе с тем указанные виды признаков могут быть усвоены уже в начальной школе. Естественно, ученики при этом должны не просто заучить определения этих признаков, а научиться работать с ними, т. е. выполнять определенные логические приемы мышления. Прежде всего необходимо научить детей выводить следствия из факта принадлежности предмета к данному понятию. Это действие связано с понятием необходимых свойств предмета, поэтому его выполнение дает возможность овладеть этой категорией свойств.
Познакомить с этим действием можно с помощью хорошо известных учащимся предметов. Например, учительница, обращаясь к классу, говорит: «Ребята, я принесла карандаш. Он у меня в портфеле. Вы его никогда не видели. Можете ли вы что-нибудь сказать о нем?» Дети дают разные ответы: одни называют грифель, другие форму, третьи—корпус, который держит грифель, четвертые — цвет и т. д. Ответы анализируются с точки зрения обязательности названных признаков. В результате проведенной работы выделяются два признака, без которых не может быть ни одного карандаша: наличие грифеля и какого-то корпуса, в котором этот грифель закреплен.
После этого учительница говорит, что признаки, которые в обязательном порядке есть у всех предметов данного класса, называются необходимыми. Они называются так потому, что их отсутствие приводит к тому, что предмет оказывается не относящимся к этому классу предметов. Так, если карандаш не будет иметь корпуса, то он из карандаша превратится в грифель.
После этого учащиеся выполняют еще ряд заданий на выведение необходимых свойств. При этом, естественно, используется и учебный материал. Так, в начальной школе учащиеся знакомятся с понятием отрезок. Учитель может предложить учащимся задание: «Известно, что линия является отрезком. Скажите, какими свойствами обладает эта линия в обязательном порядке?» Учащиеся должны указать следующие свойства: а) это часть прямой; б) она ограничена с двух сторон. Наличие этих свойств вытекает из факта принадлежности линии к понятию «отрезок прямой».
Количество свойств, которые могут быть при этом указаны у предмета, зависит от содержания самого понятия и от того, насколько продвинулись учащиеся в изучении его. Так, например, если учащиеся только еще приступили к изучению понятия «треугольник», то они смогут указать лишь те его свойства, которые содержатся в определении: а) замкнутая фигура; б) состоит из трех отрезков прямой. После изучения всех теорем, относящихся к треугольнику (уже в более старших классах), учащиеся смогут указать ряд дополнительных свойств: сумма внутренних углов равна 180°; сумма двух сторон больше третьей и т. д.
Таким образом, прием выведения следствий должен быть введен в начальной школе, а формирование его должно продолжаться во всех последующих классах.
После знакомства с необходимыми признаками вводится понятие признаков достаточных и признаков необходимых и одновременно достаточных. Здесь важно показать, что не всякий необходимый признак является достаточным. Ошибки учащихся связаны именно с тем, что они с признаками необходимыми действуют как с достаточными. Например, четырехугольник, имеющий хотя бы два прямых угла, считают прямоугольником. Это неверно, так как этими свойствами обладает и прямоугольная трапеция. И для нее, и для прямоугольника—это свойства необходимые, но не достаточные.
И наоборот, не всякое достаточное свойство является необходимым, на что уже было указано раньше.
Вот теперь мы подошли к действию подведения под понятие. Отнесение любого объекта к тому или иному понятию предполагает установление наличия у этого объекта признаков данного понятия, достаточных или необходимых и одновременно достаточных.
Как видим, формированию этого приема предшествует усвоение целого ряда логических знаний и требующих их использования действий. Если же этого не сделать, то не произойдёт полноценного усвоения и приема подведения под понятие.
Что же собой представляет этот прием, какую конкретную деятельность должен выполнить ученик, чтобы безошибочно подводить предметы под то или иное понятие? Во-первых, учащиеся должны научиться выделять понятие, под которое требуется подвести данный объект. В ранее рассмотренном случае с подведением равностороннего треугольника под понятие «равнобедренный треугольник» последнее и будет таким понятием. Во-вторых, надо установить, при каких условиях данный объект может относиться к данному понятию. В нашем случае—при каких условиях треугольник может быть равнобедренным. Известно, что для этого он должен иметь две равные стороны. Этот шаг требует знания определения равнобедренного треугольника и умения выделять из этого определения систему необходимых и достаточных признаков. Как показывает опыт, ученики, хорошо зная определение, не всегда умеют анализировать его с этой точки зрения. После этого ученику надо установить, обладает ли данный ему объект этими признаками. В нашем случае—обладает ли равносторонний треугольник признаками равнобедренного. Для этого необходимо воспроизвести определение равностороннего треугольника, сопоставить данные в нем признаки с требуемыми, что также требует специального обучения.