Организация и содержание элективного курса "Основы теории вероятностей и математической статистики" в классах оборонно-спортивного профиля (стр. 9 из 17)
Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями). Накопленная частота niнак показывает, сколько наблюдалось вариантов со значениями признака меньших х. Накопленная частость – отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений:
.Теперь полученный вариационный ряд позволяет выявить закономерности.
Для задания вариационного ряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты или частости.
Аналогично с определением дискретной и непрерывной случайной величины, мы даем определение дискретного и непрерывного вариационного ряда.
Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину. Вариационный ряд называется непрерывным, если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.
В примере мы привели непрерывный ряд.
Для графического изображения вариационного ряда используются:
· полигон – служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков имеют (хi, ni);
· гистограмма служит для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака к=х2-х1. И высоты равные частотам. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения;
· кумулятивная прямая (кумулята) – кривая накопленных частот. Для дискретных рядов кумулята представляет ломаную, соединяющую точки (хi, niнак ) или (хi, wiнак). Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса, которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте, равной нулю. Другие точки соответствуют концам интервалов.
Теперь переходим еще к одной важной теме – проверка статистических гипотез. Сформулируем принцип практической уверенности. Если вероятность события А в данном испытании очень мала, то при однократном выполнении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практической деятельности вести себя так, как будто событие А вообще невозможно.
Отправляясь самолетом в другой город, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в авиа катастрофе, хотя вероятность такого события имеется.
При многократном повторении испытаний мы не можем считать маловероятное событие А практически невозможным.
Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.
Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой и обозначают Н0. Также рассматривают альтернативную (конкурирующую гипотезу) Н1, являющуюся отрицанием Н0.
Суть проверки статистической гипотезы состоит в вычислении статистики данной выборки. Затем по выборочному распределению определятся критическое значение. Если статистика больше критического значения, то событие можно считать практически невозможным.
Сравнение двух совокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречается случай, когда средний результат одной серии эксперимента отличается от среднего результата другой серии.
В промышленности данная задача возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при различных технологических режимах.
Рассмотрим, как проверятся гипотеза.
Пусть имеются две совокупности, характеризуемые генеральными средними х и у. И дисперсиями. Для которых найдены средние арифметические и выборочные дисперсии. Необходимо проверить гипотезу Н0 о равенстве генеральных средних. Тогда статистика находится по следующей формуле:
Если t>tкр то гипотеза Н0 отвергается. Если нет, то делается вывод, что нулевая гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.
Еще одной важной темой для формирования профессионально значимых навыков у учащихся является корреляционный анализ.
Корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.
Корреляционная зависимость может быть представлена в виде
.Это уравнение называют уравнением регрессии, а их графики линиями регрессии. Для отыскания уравнений регрессий необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины.
Данные о статистической зависимости удобно задавать в виде корреляционной таблицы.
| Вес (кг) (Х) | Середины интервалов | Рост (см) (у) | |||||
| 155-160 | 160-165 | 165-170 | 170-175 | Всего (ni) | Групповая Средняя  | ||
| Хi yj | 157,5 | 162,5 | 167,5 | 172,5 | |||
| 40-45 | 42,5 | 2 | 1 | 7 | 10 | 168,5 | |
| 45-50 | 47,5 | 3 | 6 | 4 | 6 | 19 | 165,9 |
| 50-55 | 52,5 | 3 | 11 | 1 | 15 | 166,8 | |
| 60-65 | 62,5 | 2 | 1 | 2 | 5 | 162,5 | |
| 70-75 | 72,5 | 1 | 1 | 172,5 | |||
| Всего nj | 7 | 11 | 17 | 15 | 50 | ||
Групповая средняя  | 50,4 | 49,8 | 52,5 | 47,2 | |||
Вычисленные групповые средние изобразим графически в виде ломанной, называемой эмпирической линией регрессии.
По виду ломанной можно предположить наличие линейной функциональной зависимости между случайными величинами Х и Y, то есть имеется функция y=kx+b, где
.Здесь
выборочная ковариация и равна 
.Вычислим для данной таблицы основные характеристики и найдем уравнение линии регрессии.
, 
, 
, 
, k = – 46,09, b = 2471,02. Тогда уравнение линии регрессии запишется как: y = – 46,09 х + 2471,02.
Если построить линию регрессии можно будет спрогнозировать какие-либо результаты исследований, на какой-то период времени вперед. Другая важная область применения регрессионного анализа в спортивных исследованиях также связана с прогнозированием. Очень часто предметом исследования является такой признак, который измерить затруднительно или невозможно, но в то же время известно, что изучаемый признак связан с другими признаками. Тогда пытаются подобрать модель предполагаемой зависимости по этой модели спрогнозировать значения неизмеряемого зависимого признака. Прогнозируемые таким образом значения называют предикторами. Спортивное прогнозирование – одна из важных областей применения регрессионного анализа в спортивных исследованиях.
На закрепления изученной темы учащимся можно дать следующие задачи для решения.
В ходе исследования результатов забега на 100 метров юношами одиннадцатых классов двух групп – экспериментальной и контрольной – были получены данные, представленные в таблице.
| Время (секунды) | 12,3-13,9 | 13,9-15,5 | 15,5-17,1 | 17,1-17,7 |
| Число юношей экспериментальной группы | 3 | 20 | 20 | 2 |
| Число юношей контрольной группы | 1 | 8 | 18 | 3 |
1. Изобразить данные графически, построив гистограммы для каждой группы.
2. Для каждой группы определить среднее значение, дисперсию, моду и медиану.
3. Проверить гипотезу о равенстве средних двух групп учащихся, используя критерий Стьюдента и полагая критическое значение статистики 1,67.
2.5. Содержание и анализ результатов опытной работы
Опытная работа, проведенная нами, заключалась в применении данных методических рекомендаций при обучении спортсменов теории вероятностей и математической статистике.
Цель опытной работы: на основе использования разработанных методических материалов сделать вывод об эффективности их использования.
В связи с отсутствием в городе школ со специализированными классами опытно-экспериментальной базой стал первый курс специальности АФК факультета физической культуры ВятГГУ.
Основные трудности при проведении опытной работы:
1) не высокий уровень знаний студентов в области математики;
2) низкая заинтересованность студентов при изучении данного предмета.
Было проведено 8 часов лекционных занятий:
| № | Тема лекционного занятия | Содержание занятия |
| 1 | Основы теории вероятности | Основные определения. Классическое и статистическое определение вероятности. Вычисление вероятности. |
| 2 | Правила вычисления вероятностей | Основные правила вычисления вероятности. Формула полной вероятности, формула Бейеса. |
| 3 | Случайные величины | Определение и примеры случайных величин, закон распределения случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия. |
| 4 | Статистика. Общие сведения | Основные понятия. Вариационные ряды. |
| 5 | Дискретные и непрерывные ряды | Графическое изображение вариационного ряда, дискретные и непрерывные ряды. |
| 6 | Проверка статистических гипотез. Корреляционный анализ. | Основные определения. Примеры. |
| 7-8 | Контрольная работа | |
Параллельно с этим были проведены 16 часов практических занятий. В результате учащиеся изучили следующие темы.