Организация и содержание элективного курса "Основы теории вероятностей и математической статистики" в классах оборонно-спортивного профиля (стр. 8 из 17)

После определения математического ожидания ученикам может быть непонятно, где оно может пригодиться. На самом деле математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Для введения дисперсии можно привести следующий пример. На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайно величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Именно такие задачи решает дисперсия.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия обозначается, как D(x): D(Х)=M[X-М(Х)]².

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой: дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания

D(Х)=M(X)2-[М(Х)]².

Для оценки рассеяния всевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и другие величины.

Средним квадратичным отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии

Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Х	1	2	5
p	0,3	0,5	0,2

Решение. Найдем математическое ожидание:

Найдем всевозможные значения квадрата отклонения:

Напишем закон квадрата отклонения:

[Х-М(Х)]²	1,69	0,09	7,29
p	0,3	0,5	0,2

По определению

Используя формулу D(Х)=M(X)²-[М(Х)]² можно найти дисперсию гораздо быстрее:

Далее следует продолжить изучать статистику. Математическая статистика – это раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей [21]. Необходимо основательно остановиться на изучении статистических характеристик и их практического применения. Рассмотреть понятия, составляющие суть выборочного метода в статистике (выборка, варианта и пр.). Также следует рассмотреть способы их графического представления.

В практике статистических наблюдений различают два вида наблюдений:

· сплошное (изучаются все объекты);

· выборочное (не сплошное, когда изучается часть объектов).

Примером сплошного наблюдения является перепись населения, охватывающее все население страны. Выборочными наблюдениями является, например, проводимые социологические исследования, охватывающие часть населения страны, области, района и т.д.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью. Часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Числа объектов в генеральной или выборочной совокупности называют их объемами. Генеральная совокупность может иметь конечный и бесконечный объем.

Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о ее свойствах в целом. Обычно ограничиваются 5-10% всей изучаемой совокупности.

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать выборочный метод, поэтому целесообразно выделить преимущества выборочного метода:

· экономия затраты ресурсов;

· единственно возможный в случае бесконечной генеральной совокупности или в случае, когда исследовании связано с уничтожением наблюдаемых объектов (например, исследование долговечности электрических лампочек и т.д.);

· возможность углубленного исследования за счет расширения программы исследования при тех же затратах;

· снижение ошибок регистрации;

· неизбежные ошибки, возникающие в связи с изучением части объектов, могут быть заранее оценены и посредством правильной организации выборки сведены к незначимым величинам.

Между тем, использование сплошного наблюдения часто приводит к снижению точности наблюдения, а это у же вызывает неустранимые ошибки, и может привести к снижению точности сплошного наблюдения по сравнению с выборочным. Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. На практике отбор может выполняться с помощью жеребьевки (лотереи) или с помощью случайных чисел.

Основной недостаток выборочного метода – ошибки исследования, называемые ошибками репрезентативности.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность. Виды выборок:

· случайная выборка (случайный выбор элементов без расчленения на части или группы);

· механическая выборка (элементы отбираются через определенный интервал);

· типическая выборка (выбор случайным образом элементов из типических групп, на которые по некоторому признаку разбивается генеральная совокупность);

· серийная выборка (случайным образом отбираются целые группы совокупности, а сами серии подвергаются сплошному наблюдению).

Способы образования выборки:

· повторный выбор – каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран.

· бесповторный отбор – когда обратный элемент не возвращается в общую совокупность.

Затем учащимся можно дать таблицу с основными характеристиками генеральной совокупности и выборки.

Наименование характеристики	Генеральная совокупность	Выборка
Математическое ожидание
Дисперсия
Доля

Здесь х_i – значение признака; N и n – объемы генеральной и выборочной совокупностей; N_i и n_i – число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака х_i; M и m – число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком.

На несложном примере покажем, как вычисляются введенные характеристики.

Генеральная совокупность задана таблицей распределения:

X_i	2	4	5	6
N_i	8	9	10	3

Найти дисперсию.

Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Далее введем понятие вариационного ряда. Для начала рассмотрим пример.

Необходимо изучить изменение результатов спортсменов, занимающихся легкой атлетикой, по сравнению с предыдущим годом. Получены следующие данные результатов в процентах к предыдущему году: 97,8; 97,10; 101,17;…;142,3;141,02.(всего 100 значений.).

Различные значения признака (случайной величины Х) называется вариантами (обозначаем их через х).

Первый шаг к осмыслению – упорядочивание. Расположение вариантов в порядке возрастания (убывания), т.е. ранжирование вариантов ряда.

Следующим шагом произведем группировку, то есть разобьем на отдельные интервалы. Число интервалов не следует брать большим. Числа показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами (n_i), а отношение их к общему числу наблюдений частостями

. Частоты и частости называют весами.

Составим таблицу.

Д	Результаты в процентах к предыдущему году х	Частота (количество спортсменов) n_i	Частость (доля рабочих)	Накопленная частота n_i^нак	Накопленная частость
1	94,0-100	3	0,03	3	0,03
2	100,0-106,0	7	0,07	10	0,10
3	106,0-112,0	11	0,11	21	0,21
…	…	…	…	…	…
8	136,0-142,0	2	0,02	100	1,00
		100	1,00