Организация и содержание элективного курса "Основы теории вероятностей и математической статистики" в классах оборонно-спортивного профиля (стр. 6 из 17)
После изучения основных формул комбинаторики следует дать учащимся задачи на вычисление вероятности, для решения которых необходимо применять комбинаторные формулы.
Далее вводим основные операции над событиями. При введении не следует пользоваться кругами Эйлера, так как учащиеся мало знакомы с теорией множеств. После определения операции можно привести пример описывающий данную операцию.
Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.
Бросается кубик. Событие А – выпадет число 2. Событие В – выпадет нечетное число. Тогда событие С=А+В. Будет состоять в выпадении двойки или нечетного числа.
Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B.
С=А∙В (А – выпадет 3, В – выпадет нечетное число). Тогда С состоит в выпадении только числа 3, так как 3 является нечетным числом.
Противоположным событию A, называется событие, состоящее в непоявлении события А. Обозначается противоположное событие символом
.Противоположными событиями являются промах и попадание при выстреле, или выпадении герба или цифры при одном подбрасывании монеты.
Далее дадим определения совместных, несовместных событий и зависимых, независимых событий.
Здесь также следует рассмотреть примеры, для лучшего усвоения этих понятий.
Испытание – один раз подбрасываем монету. События: А – выпадет орел; В – выпадет решка. События А и В несовместны, так как при подбрасывании одной монеты одновременно не выпадет орел и решка.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события A, B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что 
, значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье.
На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.
Изучив основные операции над событиями, можно перейти к вероятности. А именно привести основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.
Вероятность достоверного события равна единице: Р(E) = 1.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: Р(А1+ А2+…+ Аn) = Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).
Эти два равенства являются аксиомами, то есть не требуют доказательства. На основе этих равенств строится вся теория вероятностей. Приведенные ниже формулы можно вывести при помощи этих аксиом.
Вероятность невозможного события равна 0: Р(Ø) = 0.
Вероятность противоположного события равна: Р(Ā) = 1 – Р(А).
Вероятность суммы произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности произведения событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ).
Теперь вспомним определения независимых событий.
Событие А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В).
На практике часто путают независимые и несовместные события, это разные понятия. Другими словами можно сказать, если события связаны независимыми экспериментами, то и сами события будут независимыми.
Показать применение изученных правил можно при решении следующей задачи.
На соревнованиях по стрельбе из лука три стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, для другого – 0,7, для третьего – 0,93. Найти вероятность того, что: а) хотя бы один из стрелков попадет в мишень; б) только один из стрелков попадет в мишень; в) ни один из стрелков не попадет в мишень.
Решение. Пусть событие А – первый стрелок попал в мишень, тогда Р(A)=0,6; Событие В – второй стрелок попал в мишень, тогда Р(В)=0,7; Событие С – третий стрелок попал в мишень, тогда Р(С)=0,93.
В данной задаче все события являются независимыми, так как стреляют, независимо друг от друга.
а) Пусть событие S – хотя бы один из стрелков попадет в мишень. Вспомним определение суммы событий: событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В. Данное определение можно применить и к большему числу событий. Следовательно событие S=А+В+С. То есть нам нужно найти Р(А+В+С). А так как все события независимые то, применяя формулу суммы и произведения независимых событий, получаем:
Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)=0,99.
б) Пусть событие S – только один из стрелков попадет в мишень. Данное событие можно представить как сумму следующих событий:
. Рассмотрим подробно событие 
, но для начала вспомним определение произведения событий: событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B. Итак, событие 
означает, что первый игрок попадет, а два других промажут, аналогично рассматриваются два других слагаемых. Данные слагаемые является несовместным, так как появление одного из них исключает появление двух других. Значит можно применить формулу суммы несовместных событий, а затем формулу произведения независимых событий:Р( 
)=Р( )+Р( 
)+Р( 
)=
= Р(А)Р( 
)Р( 
)+Р( 
)Р(В)Р( )+Р( )Р( 
)Р(С)
Однако такую вероятность можно вычислить легче. Вспомним, как вычисляется вероятность противоположного события: Р(Ā)=1–Р(А). Применив данную формулу, вычислим вероятность и в итоге получим, что
Р(
) = 0,1438.в) Составим отрицание к событию, рассматриваемому в пункте а). Если событие S – хотя бы один из стрелков попадет в мишень, то тогда
– ни один из стрелков не попадет в мишень. Следовательно для решении данной задачи требуется найти Р( 
). Вычислим при помощи формулы противоположного события: Р( )=1 – Р( 
)=1 – 0,99 = 0,01.Возникает вопрос, как вычислять вероятность зависимого события. То есть вероятность события, при условии, что другое событие уже произошло. Для этого ввели понятие условной вероятности.
Условной вероятностью события А, при условии, что уже произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ) к Р(А) и обозначается
: 
.Из этой формулы можно вывести формулу вероятности произведения двух зависимых событий: 
.
Решим следующую задачу.
Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?
Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2, 4, 6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ – 4, 6. Поэтому, используя формулу условной вероятности, получим:
.Пусть некоторое событие А может наступить при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn.Причем известны вероятности этих событий и известны условные вероятности
, 
, …, 
. Как можно найти вероятность события А?