Методы решения задач на построение (стр. 5 из 8)
Исследование. Выражение a £ с – условие существования решения нашей задачи, так как только при этом условии дуга (С, а) пересечёт окружность СLB.
Пример 2. Из вершин данного треугольника как из центров опишите три окружности, касающиеся попарно внешним образом.
Анализ. Пусть АВС – данный треугольник, а, b, c – его стороны, х, у, z – радиусы искомых окружностей. Тогда
Поэтому 
откуда 
Построение.
1) проводим окружность S1(A, x);
2) S2(B, c – x);
3) S3(C, b – x).
Доказательство. Найдём сумму радиусов окружностей S1 и S3:
= ВС.Получили, что сумма радиусов равна расстоянию между их центрами, что и доказывает касание окружностей S2 и S3.
Исследование. Задача всегда однозначно разрешима, поскольку:
1. в треугольнике АВС сумма сторон
, и поэтому отрезок х может быть построен;2.
, потому что 
(так как 
);3.
, так как 
.2.5 Метод инверсии
Пусть нам дана некоторая кривая М и неподвижная точка К – начало или центр инверсии. Возьмём на кривой М точку А и на прямой КА определим точку А1 так, чтобы абсолютное значение КА·КА1 = к2, где к – есть постоянная длина, то при движении точки А по кривой М точка А1 опишет новую кривую N, которая называется обратной или инвертированной кривой.
Пусть у нас имеется фигура, состоящая из прямых и окружностей. Если эту фигуру инвертировать, то прямые и окружности превратятся в известные прямые и окружности, или в одни окружности, которые будут пересекаться под теми же углами, как и в данной фигуре. Если какая-нибудь точка данной фигуры представляла, например, вершину какого-нибудь угла, то в обратной фигуре она представит, вообще, точку пересечения окружностей, пересекающихся под тем же углом. Словом, обратная фигура удерживает до мельчайших подробностей своеобразное сходство с данной фигурой.
Зная отображённую фигуру и положение начала инверсии, нередко можно легко отгадать форму основной фигуры; что касается её размера, то для этого нужно знать степень инверсии.
Пример 1. Даны точка К две прямые АВ и ВС. Провести секущую КХY так, чтобы KX·KY = k2(k – есть данная длина).
Анализ. Искомая точка Y есть пересечение прямой ВА с прямой, инвертированной к ВС с центром инверсии К и степенью к2.
Построение.
1) опустим KL ^ BC;
2) на ВС отложим LN = k;
3) проведём MN ^ KN до пересечения KL в точке М;
4) окружность, описанная на диаметре МК встретит АВ в искомой точке.
Пример 2. Даны точки А, В и С. Через В провести прямую так, чтобы расстояния АХ и CY от этой прямой удовлетворяли равенству
АХ2 - СY2 = к2.
Решение. Из равенства (АХ + CY) (AX – CY) = k2 вытекает необходимость ввести в чертёж сумму и разность AX и CY. Поэтому переносим параллельно CY в С1Х и AC1·AY1 = k2. Если взять за центр инверсии А и за коэффициент к2, то С1 – есть точка окружности, инвертированной к прямой DY1; диаметр этой окружности равен АС1. Так как точки D и J соответственные, то AD·AJ = k2, что даёт возможность построить точку J. Тогда для определения точки С1 имеем JC1 ^ AD и окружность, диаметр которой равен АС.
3. Эксперимент
Практические занятия по теме «Методы решения задач на построение».
Цели: 1. Формирование знаний об этапах решения задач на построение и умений их осуществлять;
2. Формирование представлений об основных методах решения задач на построение;
3. Формирование навыков самостоятельной работы.
План занятий:
Этапы изучения темы | Тема занятия | Количество часов |
| 1. Пропедевтический этап | Основы конструкти- вной геометрии. Ос- новные геометричес- кие построения. | 2 |
| 2. Систематический этап | 1. Метод пересечения фигур 2. Алгебрaический метод 3. Метод параллель ного переноса 4. Метод подобия | 5 |
| 3. Итоговый этап | Самостоятельная ра- бота | 1 |
Практические занятия по теме «Методы решения задач на построение»
Занятие 1
Тема: Основы конструктивной геометрии
Цели: 1. Ознакомление с основными требованиями конструктивной геометрии;
1. Формирование системы аксиом инструментов построения: линейки, циркуля, двусторонней линейки, прямого угла.
Оборудование:
1. Рассмотренные выше инструменты;
2. Плакаты, отражающие основные свойства конструктивной геометрии.
Методы и средства:
1. Лекция с включённой беседой;
2. Параллельная работа учителя у доски, а учащихся в тетради;
3. Самостоятельная работа учащихся в тетради.
План-коспект занятия:
1. Организационный момент.
2. Вступительная беседа и объяснение нового материала.
Преподаватель: Данные занятия затрагивают основные моменты очень интересного раздела геометрии, который называется конструктивная геометрия. Как раздел общей геометрии, она изучает геометрические построения. В конструктивной геометрии существуют основные требования.
1. Каждая данная фигура построена;
2. Если построены две или более фигуры, то построено их соединение;
3. Если две фигуры построены, то можно установить является ли их пересечение пустым множеством;
4. Если разность двух фигур не является пустым множеством, то эта разность построена;
5. Можно построить точку, заведомо принадлежащую или не принадлежащую построенной фигуре.
Преподаватель: Каждая задача на построение состоит из требования построить ту или иную фигуру при помощи данных соотношений между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры, используя данный набор инструментов. Мы будем рассматривать построения при помощи циркуля и линейки.
Таким образом, каждая построенная фигура, удовлетворяющая требуемым условиям задачи, называется решением задачи. Найти решение задачи на построение, – значит, свести её к конечному числу из некоторых элементарных построений, то есть указать пошаговую последовательность построений, после выполнения которых мы получим искомую фигуру.
Решить задачу на построение, – значит найти все её решения. А теперь рассмотрим элементарные построения (см. Глава 1.,§ 1,2).
Преподаватель: На уроках геометрии вы уже выполняли некоторые простые задачи на построение. Давайте вспомним какие.
Учащиеся: Деление отрезка пополам, деление угла пополам, построение треугольника по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам, подвум углам и прилежащей стороне.
Преподаватель: Правильно. Попытайтесь самостоятельно выполнить эти построения.
Каждому ученику предлагается задача на построение.
Предлагаемые задачи:
1. Разделите отрезок пополам.
2. Разделите угол пополам.
3. Постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними.
4. Постройте треугольник по трём сторонам.
5. Постройте треугольник по двум углам и прилежащей стороне.
Домашнее задание: Выполнить нерассмотренные задачи на построение.
Занятие 2
Тема: Основы конструктивной геометрии. Основные геометрические построения.
Цели: 1. Формирование представлений о сущности решения задачи на построение;
2. Закрепление умений решать основные задачи на построение (14 задач).
Оборудование: Циркуль, линейка.
Методы и средства:
1. Лекция с включённой беседой;
2. Параллельная работа учителя у доски, а учащихся в тетради;
3. Самостоятельная работа учащихся в тетради.
План-конспект занятия:
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания: на карточках дать по одному основному построению.
Вопросы:
1. Что значит найти решение задачи на построение?
2. Что значит решить задачу?
3. Какие элементарные построения вы знаете?
4. Какие основные задачи на построение вы знаете?
3. Объяснение нового материала:
Преподаватель: На прошлом занятии мы решали с вами некоторые простейшие задачи на построение, но в конструктивной геометрии существуют гораздо более сложные задачи, решение которых не видно из условий сразу. Для этого решение задачи разбивают на этапы. Может быть, вы помните – какие этапы включает в себя задача на построение?
Ученики: Анализ и построение.
Преподаватель: Правильно, но вы перечислили не все этапы.
1 этап: Анализ. Это поиск способа решения задачи на построение. На этапе анализа мы предполагаем, что искомая фигура построена и отмечаем из этого наброска все зависимости, отношения между элементами этой фигуры.
Пусть, например, надо построить треугольник по основанию и медиане и высоте, проведённых к этому основанию.
Анализ: Допустим, что такой треугольник построен, где BD = m,