Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 7 из 21)
Ответ.
, 
.Отметим, что «бездумное» применение в Примере 8 метода «уединения радикала» и возведение в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, решение которого представляет собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу.
Пример 9. Решить уравнение
.Введем новую переменную
, 
.В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного
,откуда учитывая ограничение
, получаем 
. Решая уравнение 
, получаем корень 
. Как показывает проверка, 
удовлетворяет исходному уравнению.Ответ.
.Иногда посредством некоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональному виду, как рассмотренных Примерах 8, 9. В таком случае говорят, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение, и называют ее рационализирующей., основанный на применении рационализирующих подстановок, называется способом рационализации.
Со всеми учащимися на уроке этот способ решения иррациональных уравнений разбирать не нужно, но он может быть рассмотрен в рамках факультативных или кружковых занятий по математике с учащимися, проявляющих повышенный интерес к математике.
2.2.4. Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений
Уравнения вида
(здесь a, b, c, d – некоторые числа, m, n – натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: 
и 
, где 
и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений. [17]Пример 16. Решить уравнение
.Решение. Введем новые переменные
и 
, где .Тогда исходное уравнение принимает вид:
. Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины y и z не являются независимыми переменными – они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через y и z: 
и 
. Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между y и z 
.В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных y и z
Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению
, корнями которого являются числа 
и 
. Корень 
посторонний, поскольку 
. Осталось решить уравнение 
, откуда находим 
.Ответ.
.Пример 17. Решить уравнение
. [6]Решение. Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить
, 
, то исходное уравнение переписывается так: 
. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства 
, в четвертую степень и заметим, что 
.Итак, надо решить систему уравнений
она имеет два (действительных) решения:
, 
; 
, 
.Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным
и систему
первая из них дает
, вторая дает 
.Ответ:
, .Не всегда после введения новых переменных удается исключить неизвестную x, как это было в рассмотренных Примерах 15, 16. Однако, как можно убедиться из следующего примера, переход от уравнения к системе может помочь и в таком случае. [17]
Пример 18. Решить уравнение
.Решение. Введем новые переменные
и 
, где .По стандартной схеме получим следующую систему уравнений:
откуда следует, что
.Так как
, то y и z должны удовлетворять системе 
Возведем оба уравнения этой системы в квадрат, после чего, сложив их, получаем уравнение
.Также возведем равенства
, 
в квадрат и заметим, что 
.Получаем следующую систему уравнений:
из которой получаем уравнение
.Заметим, что это уравнение имеет корень
. Тогда, разделив многочлен на 
, получаем разложение левой части уравнения на множители 
.Отсюда следует, что
– единственное решение этого уравнения. После проверки записываем это решение в ответ.