Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 21 из 21)

2). Если в уравнение входит радикал

, то можно сделать замену tg t, или ctg t, .

3). Если в уравнение входит радикал

, то можно сделать замену , или , .

Проиллюстрируем использование этих замен на следующих примерах.

Пример 5. Решить уравнение

.

Решение. В данное уравнение входит выражение

, поэтому в соответствии с пунктом 2, сделаем замену

tg t, где .

Тогда выражение

, входящее в уравнение, можно преобразовать

и исходное уравнение можно записать в виде

.

Поскольку

не равен нулю при рассматриваемых значениях t, то полученное уравнение равносильно уравнению

.

Решая это уравнение, находим два возможных значения

и .

Из всех корней этих уравнений промежутку

принадлежит единственное значение .

Поэтому соответствующее значение x равно

.

Ответ.

.

Пример 6. Решить уравнение

.

Решение. В этом уравнении x по ОДЗ может принимать только значения из отрезка

, что приводит к мысли совершить замену

, где .

В результате такой замены приходим к уравнению

.

Учтем, что

и ,

получим уравнение

.

В силу ограничения

выполнено , поэтому приходим к уравнению

,

которое, пользуясь формулой приведения, сведем к стандартному виду

.

Решая последнее уравнение, находим

или , .

Условию

удовлетворяют лишь три значения

, , .

Поэтому

, , .

Ответ.

, , .

В заключение нужно отметить, что способ рационализации успешно может быть применён также для рационализации иррациональных неравенств, для вычисления и преобразования иррациональных выражений и так далее.