Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 20 из 21)
Решение. Так как
– не является корнем уравнения, разделим обе его части на 
. Выделяется биномиальное выражение: 
.Имеет место третий случай рационализации (
и 
– целое число). Следовательно, будем применять подстановку 
. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим 
, так что 
. Теперь с помощью подстановки и найденного значения 
получаем 
и исходное иррациональное уравнение приводится к рациональному
, или 
. Определив корни этого уравнения 
, 
и воспользовавшись подстановкой, находим 
Ответ:
4. Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера
Квадратичной иррациональностью назовем функцию вида
, (9)где
и 
– некоторые постоянные. Покажем, что это выражение всегда рационализируется одной из так называемых подстановок Эйлера. При этом мы, конечно, будем считать, что квадратный трёхчлен 
неотрицателен и не имеет равных корней (в противном случае корень можно заменить рациональным выражением).а) Сначала рассмотрим случай, когда дискриминант
. В этом случае знак квадратного трёхчлена 
совпадает со знаком 
, и поскольку этот трёхчлен положителен (в силу условия 
равенство трёхчлена нулю невозможно), то 
.Таким образом, мы можем сделать следующую подстановку:
(или
) (10)Подстановку (10) иногда называют первой подстановкой Эйлера. Докажем, что эта подстановка рационализирует функцию (9) в рассматриваемом случае. Возводя в квадрат обе части равенства
(заметим, что
), получим 
, так что 
, 
где функции
и 
рациональные. Таким образом, 
.В правой части полученного равенства стоит рациональная функция.
б) Рассмотрим теперь случай, когда дискриминант
, то есть квадратный трехчлен имеет (различные) действительные корни 
и 
. Следовательно, 
.Аналогично предыдущему доказывается, что в этом случае функция (9) рационализируется посредством подстановки:
, (11)называемой часто второй подстановкой Эйлера.
Замечание 1. Рационализирующая подстановка (11) справедлива при условии
. Следовательно, применяя эту подстановку при решении иррационального уравнения, необходимо проверить, не является ли значение 
корнем данного уравнения (иначе возможна потеря этого корня).Замечание 2. Если
, то в этом случае можно положить 
(или
) (12)Ответ:
, 
.Пример 4. Решить уравнение
.Решение. В данном уравнении дискриминант квадратного трехчлена положителен, корни его
и 
. Найдем другие корни подстановкой 
.Применяя эту подстановку, необходимо проверить, не является ли значение
корнем данного уравнения. Итак, – корень данного уравнения.Возводя в квадрат обе части равенства
, получим 
, откуда 
. Теперь подставим это значение в исходное уравнение и последовательно получаем: 
и исходное уравнение сводится к уравнению
, или 
. Это уравнение имеет единственный действительный корень 
, тогда 
. Итак, исходное уравнение имеет два корня: 
и 
.Ответ:
, .5. Рационализация с помощью тригонометрических подстановок
Иногда подходящей заменой неизвестной иррациональное уравнение можно свести к тригонометрическому уравнению. При этом полезными могут оказаться следующие замены переменной. [17]
1). Если в уравнение входит радикал
, то можно сделать замену 
, 
или 
, 
.