8. Введем новые переменные

и

. Тогда исходное уравнение принимает вид:

. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее
y и
z. Для этого возведем равенства

,

в третью степень и заметим, что

. Итак, надо решить систему уравнений

она имеет два (действительных) решения:

,

;

,

. Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным

и систему

первая из них дает

, вторая дает

. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ:

,

.
Ответы и решение заданий диагностирующей контрольной работы №2
1. Б.
2. В.
3. Г.
4. Уединив первый радикал, получаем уравнение

, равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

,

. Последнее уравнение равносильно системе

Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению

, получим корни

и

. Оба корня удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются корнями исходного уравнения. В ответе нужно указать произведение корней. Ответ: 48.
5. Введем новую переменную

, тогда

, причем

. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного

, откуда учитывая ограничение

, получаем

. Решая уравнение

, получаем корень

. Как показывает проверка,

удовлетворяет исходному уравнению. Ответ:

.
6. Введем новую переменную

. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид

Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению

, получим корни

и

. Первый корень не удовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение

, получаем корни

и

. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольший из корней. Ответ:

.
7. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

и

Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы:

Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению

, получим корни

и

. Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Решение второй системы:

Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению

, получим корни

и

. Оба корня не удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются посторонними корнями исходного уравнения. Ответ:

.
8. Введем новые переменные

и

. Тогда исходное уравнение принимает вид:

. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее
y и
z. Для этого возведем равенства

,

в четвертую степень и заметим, что

. Итак, надо решить систему уравнений

она имеет два (действительных) решения:

,

;

,

. Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным

и систему

первая из них дает

, вторая дает

. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ:

,

.