Смекни!
smekni.com

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 18 из 21)

8. Введем новые переменные

и
. Тогда исходное уравнение принимает вид:
. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства
,
в третью степень и заметим, что
. Итак, надо решить систему уравнений
она имеет два (действительных) решения:
,
;
,
. Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным
и систему
первая из них дает
, вторая дает
. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ:
,
.

Ответы и решение заданий диагностирующей контрольной работы №2

1. Б.

2. В.

3. Г.

4. Уединив первый радикал, получаем уравнение

, равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение
,
. Последнее уравнение равносильно системе
Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению
, получим корни
и
. Оба корня удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются корнями исходного уравнения. В ответе нужно указать произведение корней. Ответ: 48.

5. Введем новую переменную

, тогда
, причем
. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного
, откуда учитывая ограничение
, получаем
. Решая уравнение
, получаем корень
. Как показывает проверка,
удовлетворяет исходному уравнению. Ответ:
.

6. Введем новую переменную

. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид
Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению
, получим корни
и
. Первый корень не удовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение
, получаем корни
и
. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольший из корней. Ответ:
.

7. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

и
Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы:
Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению
, получим корни
и
. Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Решение второй системы:
Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению
, получим корни
и
. Оба корня не удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются посторонними корнями исходного уравнения. Ответ:
.

8. Введем новые переменные

и
. Тогда исходное уравнение принимает вид:
. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства
,
в четвертую степень и заметим, что
. Итак, надо решить систему уравнений
она имеет два (действительных) решения:
,
;
,
. Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным
и систему
первая из них дает
, вторая дает
. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ:
,
.