Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 13 из 21)

Пусть на промежутке

задана возрастающая функция и требуется решить неравенство (или ). Если – корень уравнения , причем , то решения данного неравенства – весь промежуток (соответственно промежуток ). Единственность корня следует из монотонности . Понятно, что если требуется решить нестрогое неравенство, то при том же рассуждении в ответ войдет и число , а если функция задана на замкнутом или полуоткрытом промежутке, то в ответ войдут соответствующие концы промежутка. [26]

Пример 14. Решить неравенство

.

Решение. Заметим, что левая часть данного неравенства – возрастающая функция (обозначим ее через

). При левая часть равна правой. Учтем ОДЗ исходного неравенства и рассмотрим его на промежутке . Имеем , то есть данное неравенство выполняется. При по той же причине (из-за возрастания функции ) , то есть данное неравенство не выполняется. Так как исследование проведено при всех допустимых значениях , решение закончено.

Ответ:

2. Использование ОДЗ

Пример 15. Решить неравенство

.

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все

, удовлетворяющие условию . Ясно, что не является решением данного неравенства. Для из промежутка имеем , а . Следовательно, все из промежутка являются решениями данного неравенства.

Ответ:

.

Пример 16. Решить неравенство

.

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все

из промежутка . Разобьем это множество на два промежутка и .

Для

из промежутка имеем , . Следовательно, на этом промежутке, и поэтому исходное неравенство не имеет решений на этом промежутке.

Пусть

принадлежит промежутку , тогда и . Следовательно, для таких , и, значит, на этом промежутке исходное неравенство также не имеет решений.

Ответ: Корней нет.

3. Использование графиков функций

Пример 17. Решить неравенство

.

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все из промежутка . Эскизы графиков функций и представлены на рисунке 3. Из рисунка следует, что для все из ОДЗ данное неравенство справедливо.

Докажем это. Для каждого

из промежутка имеем , а для каждого такого имеем . Значит, для каждого имеем . Следовательно, решениями исходного неравенства будут все из промежутка .

Ответ:

§ 4. Опытное преподавание

Опытное преподавание применяется для объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагает одновременное использование целого ряда методов, например, наблюдение, диагностирующие контрольные работы, беседа и другие.

Одной из задач опытного преподавания являлась проверка эффективности разработанного факультативного курса по изучению иррациональных уравнений, как предусмотренных школьной программой, так и не встречающихся в школьном курсе математики. Курс рассчитан на систематизацию методов решения иррациональных уравнений. Необходимо рассмотреть основные виды иррациональных уравнений наиболее часто встречаемых на выпускных и вступительных экзаменах.

Цели факультативных занятий:

1. Познакомить учащихся с некоторыми методами решения иррациональных уравнений.

2. Показать применение различных методов при решении уравнений одного вида.

3. Формировать умение видеть рациональный метод для решения конкретных видов уравнений.

4. Формировать логическое мышление.

5. Формировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через решение сложных задач.

6. Развивать математическую речь с присущей ей краткостью, точностью и лаконичностью.

7. Подготовить учащихся к поступлению в ВУЗы.

Знания и умения, которыми должны владеть учащиеся перед изучением факультативного курса по теме «Иррациональные уравнения и методы их решения»:

1. Владеть основными понятиями, относящимися к уравнениям и неравенствам: корень уравнения, ОДЗ уравнения, знать, что значит решить уравнение.

2. Владеть определениями понятий арифметического квадратного корня и арифметического корня

-ой степени.

3. Знать свойства арифметического квадратного корня и свойства арифметического корня

-ой степени.

4. Уметь решать простейшие иррациональные уравнения.

5. Уметь решать простейшие тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения.

6. Уметь решать линейные и квадратные уравнения.

Кроме того, учащиеся должны иметь представление об общих методах решения уравнений: метод замены, метод разложения на множители, функционально-графический метод.