Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 12 из 21)

Решение исходного неравенства является общей частью решений всех неравенств системы, то есть имеет вид

.

Ответ.

.

Теперь перейдем к решению более сложных задач, стараясь свести их решение к стандартным ситуациям – к простейшим неравенствам, рассмотренным выше. Приемы сведения во многом аналогичны приемам, применяемым при решении иррациональных уравнений.

Если в неравенстве встречаются два квадратных радикала, обычно приходится неравенство возводить в квадрат дважды, обеспечивая при этом необходимые для этой операции условия.

Пример 9. Решить неравенство

.

Решение. Перенесем второй радикал в правую часть, чтобы обе части неравенства стали неотрицательными, и его можно было возвести в квадрат:

Мы пришли к простейшему стандартному неравенству, которое согласно схеме (1) равносильно системе:

Ответ.

.

Замечание. При получении неравенства

мы не выписывали допустимые значения неизвестного, так как там фигурировал , который существует при , но при этих значениях существует и .

Пример 10. Решить неравенство

.

Решение. Начнем с отыскания допустимых значений неизвестного:

Заметим, что для избавления от радикала достаточно возвести данное неравенство в квадрат. Но для этого необходимо, чтобы обе части его были неотрицательны, что выполняется лишь при выполнении условия

(так как все остальные выражения, входящие в неравенство, неотрицательны). Но при этом условии можно умножить данное неравенство на положительное выражение .

Итак, если

, данное неравенство преобразуется и решается так:

В том случае, когда , данное неравенство будет выполняться, так как его отрицательная левая часть станет меньше положительной правой.

Ответ:

.

Замечание. При решении последней задачи мы фактически получили такие новые схемы, легко выводимые из схем (1) и (2):

(4)

(5)

Если в правой части подобного неравенства стоит не единица, а любое другое число кроме нуля, можно естественно, поделить на него обе части неравенства и, в зависимости от знака этого числа, перейти к неравенствам из схем (4) или (5).

3.2.2. Умножение обеих частей неравенства на функцию

Выражения

и называются сопряженными друг другу. Заметим, что их произведение уже не содержит корней из и . Поэтому в ряде задач вместо возведения в квадрат, приводящего к слишком громоздким выражениям, разумнее умножить обе части неравенства на выражение, сопряженное одной из них.

Пример 11. Решить неравенство

.

Решение. Найдем ОДЗ:

Умножим обе части данного неравенства на выражение, сопряженное его левой части и, очевидно, положительное в ОДЗ:

Дальнейшее решение зависит, очевидно, от знака общего множителя левой и правой частей полученного неравенства .

Если он меньше нуля, то есть , сократив на этот отрицательный множитель, переходим к неравенству:

,

из которого находим прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны)

Во втором случае, если общий множитель положителен (то есть при

), после сокращения на него получаем неравенство

,

из которого прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны) получаем, что оно справедливо при

.

Осталось указать, что в третьем возможном случае – если общий множитель равен нулю, – неравенство не выполняется: мы получаем тогда

, что неверно.

Ответ:

.

3.2.3. Метод введения новой переменной

Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений, с успехом может применяться метод введения новой переменной.

Иногда удается иррациональную функцию, входящую в неравенство, заменить новой переменной таким образом, что относительно этой переменной неравенство становится рациональным. [24]

Пример 12. Решить неравенство

.

Решение. Перепишем исходное уравнение

.

Сделаем замену

, . Тогда получим

Таким образом, для определения

получаем совокупность неравенств

Ответ.

.

Пример 13. Решить неравенство

.

Решение. Введем новую переменную

, .

Тогда

и для переменной t получаем рациональное неравенство

.

Осталось сделать обратную замену и найти

:

Ответ.

.

3.2.4. Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций

1. Использование монотонности функции