Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 10 из 21)

Только необходимо задуматься о безопасности ее применения. Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии

. Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Решая уравнение этой системы, получим корни

. Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.

Ответ.

II. Следующее опасное преобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой

Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции

должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение. [17]

Пример 32. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и произведем приведение подобных членов, перенос слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на

. В результате получим уравнение

являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение

которое приводится к виду

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни

. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ.

Замечание. При возведении уравнения в квадрат учащиеся нередко в уравнении типа

из Примера 32 производят перемножение подкоренных выражений, то есть вместо такого уравнения пишут уравнение

Такое «склеивание» не приводит к ошибкам, поскольку такое уравнение является следствием уравнения

. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения. Поэтому в рассмотренном выше примере можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения, то есть уединить один радикал. Тогда в левой части уравнения останется один радикал, и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональное выражение. [3]

Рассмотрим пример, где реализуется проблема с использованием формулы

Пример 33. Решить уравнение

Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители

Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение

, так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному:

не имеет смысла при

. Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат

Решая уравнение этой системы, получим корни

. Оба корня удовлетворяют неравенству системы

Ответ.

Вывод. Есть два пути. Или аккуратно возводить уравнение в квадрат, или безошибочно определять, какие решения могли быть потеряны, и проверить, не случилось ли этого на самом деле.

III. Существует еще более опасное действие – сокращение на общий множитель. [17]

Пример 34. Решить уравнение

Неверное рассуждение: Сократим обе части уравнения на

, получим

Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения

было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения

. Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Приведем правильное решение.

Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители

Это уравнение равносильно системе

которая имеет единственное решение

Ответ.

§ 3. Методика решения иррациональных неравенств

Иррациональные неравенства – довольно сложный раздел школьного курса математики, а если учесть, что на его изучение отведено крайне мало времени, то становится ясно, что учащиеся как правило это раздел не усваивают. Даже у тех учащихся, что успешно решают иррациональные уравнения, часто возникают проблемы при решении иррациональных неравенств. Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.

3.1. Теоретические основы решения иррациональных неравенств

Если в любом иррациональном уравнении заменить знак равенства на один из знаков неравенства: >,

, <,

, то получим иррациональное неравенство. [19] Поэтому под иррациональным неравенством будем понимать неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня. [16]

Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.

Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, то есть найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.

При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству. [16]

Но если при решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться. [8]

Например, возведя в квадрат:

-верное неравенство

, мы получим верное неравенство

;

-верное неравенство

, мы получим неверное неравенство

;