Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 7 из 10)
Теперь задача сводится к решению уравнения
и уравнения 
. Первое из этих решений не имеет, а из второго получаем 
, 
.Ответ.
, 
.Отметим, что "бездумное" применение в Примере 11 метода "уединения радикала" и возведение в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, решение которого представляет собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу.
Пример 14. Решить уравнение
.Введем новую переменную
, 
.Исходное уравнение принимает вид
,откуда учитывая ограничение
, получаем 
. Тогда 
.Ответ.
.Уравнения вида
(здесь a, b, c, d - некоторые числа, m, n - натуральные числа, обычно не превосходящие 4) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных и последующего перехода к рациональной системе. [17]. Пример 15. Решить уравнение 
.Решение. Введем новые переменные
и 
.Тогда исходное уравнение принимает вид:
. Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины a и b не являются независимыми переменными - они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через a и b 
и 
.Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между a и b
.В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных a и b
Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению
, корнями которого являются числа 
и 
. Корень 
посторонний, поскольку 
. Осталось решить уравнение 
, откуда находим 
.Ответ.
.Пример 16. Решить уравнение
. [6]Решение. Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить
, 
, то исходное уравнение переписывается так: 
. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z.Для этого возведем равенства
, в четвертую степень и заметим, что 
.Итак, надо решить систему уравнений
она имеет два (действительных) решения:
, 
; 
, 
. Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным 
и систему 
первая из них дает
, вторая дает 
.Ответ.
, 
.Не всегда после введения новых переменных удается исключить неизвестную x, как это было в рассмотренных Примерах 15, 16. Однако, как можно убедиться из следующего примера, переход от уравнения к системе может помочь и в таком случае. [17]
Пример 17. Решить уравнение
.Решение. Введем новые переменные
и 
.По стандартной схеме получим следующую систему уравнений:
откуда следует, что
.Так как
, то u и v должны удовлетворять системе 
из которой после несложных преобразований получаем уравнение
.Заметим, что это уравнение имеет корень
. Тогда, разделив многочлен на 
, получаем разложение левой части уравнения на множители 
.Отсюда следует, что
- единственное решение этого уравнения. После проверки записываем это решение в ответ.Ответ.
3. Тригонометрическая замена.
Иногда подходящей заменой неизвестной иррациональное уравнение можно свести к тригонометрическому уравнению. При этом полезными могут оказаться следующие замены переменной. [17]
Если в уравнение входит радикал
, то можно сделать замену 
, 
или 
, 
.Если в уравнение входит радикал
, то можно сделать замену 
tg t, 
или 
ctg t, 
.Если в уравнение входит радикал
, то можно сделать замену 
, или 
, 
.