Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики (стр. 1 из 7)
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра МПМ
Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики
Реферат
Исполнитель:
Студентка группы М-42 Головачева А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.
Гомель 2007
Содержание
Введение
1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества
2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от 0° до 180°
3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры
4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению
Заключение
Литература
Введение
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 00 до 1800; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.
Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin, решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина "тригонометрические функции".
1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества
Знакомство с тригонометрическим материалом начинается в курсе геометрии при знакомстве с прямоугольным треугольником. Понятия
, 
и 
острых углов треугольника вводится для углов от 
до 
, как отношение сторон этого треугольника. Предварительно учащиеся должны усвоить названия сторон прямоугольного треугольника: катеты (стороны прямого угла) и гипотенуза (сторона противолежащая прямому углу). Для этого необходимо предложить учащимся прямоугольные треугольники, разнообразные по расположению вершин прямого угла и предложить назвать стороны треугольника. 
Назовите катеты в
ABC, APN. Назовите гипотенузы в LKM и EFA. Будут ли гипотенузами следующие отрезки: AB, KL, AP, AN, EF, FA в указанных треугольниках и почему?Следующие выражения "прилежащий" и "противолежащий" отрабатываются на следующем этапе. Для этого необходимо по указанным треугольникам предложить учащимся назвать прилежащие и противолежащие острым углам катеты. Назвать отрезки: KL, PN, EA и попросить учащихся назвать те углы, против которых лежат эти катеты или, которым они прилегают.
Первым вводится понятие
угла и доказывается теорема: " Косинус угла зависит от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника". Это определение уже " работает" при доказательстве теоремы Пифагора.С остальными понятиями учащиеся знакомятся в пункте " Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике". sin
, tg 
Формируется свойство: синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят от величины угла.
Для синуса это доказывается так:
= 
,так как косинус зависит только от величины угла, то и синус зависит только от величины угла.
Из определений
, и получаем следующие правила:- Катет, противолежащий углу
, равен произведению гипотенузы на синус ;- Катет, прилежащий к углу
, равен произведению гипотенузы на косинус ;- Катет, противолежащий углу
, равен произведению второго катета на тангенс .По этим правилам можно находить неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике.
Перечисленные правила могут быть выведены учащимися самостоятельно. Для этого предлагаются вопросы: В прямоугольном треугольнике MNP, LN=
, LM= , гипотенуза MP=m. Найти длины катетов этого треугольника. ( Задача решается по определению).Раньше по программе тригонометрические функции и соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике изучались в курсе 8 класса.
После введения понятий
, и рассматривались решения основных задач, связанных с отысканием длин сторон и величин углов в прямоугольном треугольнике.Задача №1. Дано: a, b. Требуется найти
A, B, c.Задача №2. Дано: a, c. Требуется найти
A, B, b.Задача №3. Дано: a,
A. Требуется найти A, b, c.Задача №4. Дано: a,
B. Требуется найти A, b, c.Задача №5. Дано: a,
A. Требуется найти B, a, b.По действующей программе эти задачи в курсе 8 класса (бывший 7 класс) заменены такой: В прямоугольном треугольнике даны: гипотенуза c и острый угол
. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.Вводятся основные тригонометрические тождества:
, 
, 
, 
.В частности, основное тригонометрическое тождество выводится из формулировки теоремы Пифагора:
, 
.Учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами функций острого угла: 1) при возрастании острого угла
и 
возрастают, а 
- убывает; 2) для любого острого угла 
: 
, 
; которые формулируются как теоремы. Их доказательство связывается с соотношениями острых углов в прямоугольном треугольнике: