Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики (стр. 3 из 7)
Определение cos, sin, tg углов от 00 до 1800 являются генетическими, т.к. в них указываются построения и вычисления, позволяющие найти значение тригонометрической функции.
В пособие говорится следующее (стр. 132, 1, 2 абзац), обратите внимание учащихся на следующее обстоятельство. Ранее для острых углов были установлены некоторые тригонометрические тождества. "Справедливы ли эти тождества для углов от 00 до 1800. Справедливы ли прежние доказательства этих тождеств или необходимо привести новые?"
Сравним доказательства основного тригонометрического тождества:
для острых углов и для углов от 00 до 1800: | 00<α<900 | 00≤α≤1800 |
1  | 1   |
2  | 2  |
3  | 3  |
В курсе "Алгебра 9" обобщается определение cos, tg и sin α на случай произвольного угла α и вводится понятие ctg α. Возможность такого обобщения – во введении понятия угла поворота, положительного и отрицательного угла, понятия полного оборота. Доказывается, что тригонометрические функции, их значение, не зависит от длины радиуса.
Здесь же приведены с доказательствами основные тригонометрические формулы, формулы сложения и их следствия.
3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций:
· в начале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника;
· затем введенные понятия обобщаются для углов от
до 
;· тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.
В курсе алгебры и начала анализа осуществляется заключительный этап изучения, который включает:
a) Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;
b) Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей
; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа);c) Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла;
d) Утверждение функциональной точки зрения на
, 
, и 
(трактовка 
, 
, и 
как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т.д.);e) Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом которых является тождество
;f) Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.
В курсе "Алгебра 9" учащиеся знакомятся с функциональной точкой зрения. Выражения
и 
определимы при 
, т.к 
угла поворота можно найти соответствующее значение дробей 
и 
. Выражение имеет смысл при 
, кроме углов поворота 
, 
, …, т.к. имеет смысл дробь 
.Каждому допустимому значению
соответствует единственное значение 
, , и 
. Поэтому 
, 
, 
и 
являются функциями угла 
. Их называют тригонометрическими функциями.Учащиеся знакомятся со следующими общефункциональными свойствами этих функций:
1. область значения
и - 
, для и - множество всех действительных чисел2. промежутки знакопостоянства:
, то значит 
зависит от знака 
и т.д.3.
, и являются нечетными функциями, а является четной функцией4. при изменении угла на целое число оборотов значение
, , , 
не изменится (под обратным понимаем поворот на ).Введение радианной меры угла основывается на том факте, что отношения длины окружности к её радиусу постоянно для данного центрального угла и не зависит от выбора концентрических окружностей. По этой причине меру центрального угла можно охарактеризовать действительным числом
. Если 
положить равным 1, то радианная мера центрального угла равна 1, т.е. 
.Тогда для каждого угла, заданного в градусах, достаточно вычислить соответствующую дугу единичной окружности. Длина такой дуги будет выражать меру данного угла в радианах.
Радианная мера угла позволяет любому действительному числу поставить в соответствие определенную градусную меру угла по формуле:
, где 
.Переход от радианной меры угла к действительному числу осуществляется на основании того, что
. Учащимся следует показать изменение величин углов по координатным углам: