Словесне позначення поняття називається терміном. В математиці для окремих термінів існують символи.
Є різні способи означування понять. Основний із них – через найближчий рід і видову відмінність. Цей спосіб полягає в тому, що називаються, по-перше, найближчий рід, до якого належить означуване поняття, і, по-друге, особлива ознака (або кілька таких ознак) даного поняття, що характеризує його як один з видів зазначеного роду. Означення через найближчий рід і видові ознаки мають таку конкретизацію: означення шляхом вказівки на їх характеристичну властивість; заперечне означення, включаючи неявні означення основних (початкових) об'єктів (фігур) предмета через систему аксіом; конструктивні і рекурсивні означення.
Означення математичних об'єктів шляхом опису характеристичної властивості. Цей вид означення побудований на логічних діях і операціях установлення найближчого роду, видових ознак і логічної природи зв'язку між родом і видовими ознаками.
В залежності від логічної природи зв'язку означення в прикладах: перше кон'юнктивне, друге – диз'юнктивне, третє – записане у вигляді імплікацій.
Конструктивні означення. Властивості об'єкта в такому означенні розкриваються шляхом показу операцій його конструювання, тобто видові ознаки задані у вигляді дій.
В рекурсивних означеннях вказуються деякі базисні об'єкти певного класу і правила, які дозволяють одержати нові об'єкти цього ж класу.
Заперечні означення не задають властивостей об'єкта (перелічуються властивості, які заперечуються). Вони ніби викопують класифікаційну функцію.
Аксіоматичне означення – це логічна операція опосередкованого розкриття змісту поняття за допомогою певної аксіоматики.
Означення через абстракцію. При цьому, порівнюючи між собою різні предмети, виділяють їх спільні властивості, а серед них – специфічні властивості для даної групи предметів. Сукупність встановлених при цьому ознак об'єднуються загальною назвою, не зазначаючи родового поняття (яке зовсім не існує або до моменту означення новою поняття ще не створене).
Наприклад, поняття «величина».
Правила означування.
1) Означення повинно бути співвимірним, тобто обсяг означуваного і означуючого понять мають бути рівними.
2) Означення не повинно містити ще не означених понять (якщо вони не є первісними).
3) Родова ознака має вказувати на найближче ширше поняття.
4) Видовою відмінністю повинна бути ознака або група істотних ознак, властивим тільки даному предмету і відсутніх в інших предметах, які належать до цього самого роду.
5) Означення має бути чітким і однозначним.
Класифікація поняття – це логічна операція, за допомогою якої обсяг поняття ділять за якою-небудь ознакою на класи, а останні (вже за іншими ознаками) – на підкласи і т.д. Найпростіший вид класифікації – поділ, при цьому) обсягу даного поняття ділять за якоюсь однією ознакою на два або більше класів. Поняття, обсяг якого становить одиничний предмет, поділити не можна. Ознака, за якою здійснюють поділ, називається основою поділу.
В методиці викладання математики виділяються два методи введення понять: конкретно-індуктивний і абстрактно-дедуктивний. Ці методи визначаються логічними методами пізнання – індукцією і дедукцією. Схема застосування конкретно-індуктивного методу така: аналізується емпіричний матеріал (при цьому, крім індукції і дедукції, застосовуються й інші логічні методи: аналіз, порівняння, абстрагування, узагальнення); виясняються спільні ознаки поняття, які його характеризують; формулюється означення; означення закріплюється шляхом наведення прикладів і контрприкладів; подальше засвоєння поняття і його означення відбувається в процесі їх застосування. [6, 77]
Схема застосування абстрактно-дедуктивного методу така: формулюється означення поняття; наводяться приклади і контрприклади; подальше засвоєння поняття і означення відбувається в процесі їх застосування.
Широко застосовується в шкільному навчанні і частково в підручниках з математичних дисциплін метод доцільних задач, розроблений С.М. Шохор-Троцьким. За допомогою спеціально підібраних задач учні приходять до висновку про необхідність введення нового поняття і доцільність надання йому саме такого змісту, який воно вже має в математиці.
Учитель, вводячи нове поняття, ставить мету, щоб учні засвоїли істотні ознаки, які входять в його зміст. Але ця мета не досягається повністю в умовах використання стандартних креслень. Стандартні креслення наштовхують учнів на сприйняття окремих ознак фігур як істотних ознак. Звідси і поширені помилки типу: трикутник прямокутний, якщо прямий кут внизу, зовнішній кут завжди тупий. Використання лише стандартних геометричних креслень є неповноцінним використанням геометричної наочності, і за цих умов пояснення вчителя і геометрична наочність діють в різних напрямках, внаслідок чого пояснення в значній мірі втрачає свою керівну і організуючу силу. При цьому немає необхідності давати надто багато варіацій. Важливо лише, щоб серед фігур, які демонструються, було дві-три фігури, форма і положення яких нестандартні.
Кожне поняття треба правильно зрозуміти, свідомо і чітко засвоїти всім учням ще на уроці. Ця мета має досягатися в процесі введення поняття, але необхідно, щоб поняття закріплялося на даному і повторювалася на наступних уроках. Кожен учень повинен знати означення понять, які вивчаються, засвоєнню складних в структурному відношенні означень допомагає аналіз логічної структури означень.
Аналіз означення допомагає більш свідомому його сприйняттю, запам'ятовуванню і відтворенню. Виясненню структури означень сприяють вправи на побудову схем алгоритмів розпізнавання понять. Оперативному введенню понять сприяє застосування технічних засобів навчання, різноманітних засобів наочності. З метою навчання і контролю під час вивчення означень застосовуються математичні диктанти і тести.
В шкільній навчально-методичній літературі треба дотримуватись єдиного порядку у формулюванні означень: спочатку дається означуване поняття, потім предикат, далі – найближчі родові поняття і нарешті – видові ознаки.
Процес формування геометричних понять не закінчуєтеся їх початковим введенням. Він продовжується під час використання цих понять для означення інших понять, формулювання теорем, проведення доведень, розв'язання задач.
2. Методика вивчення геометричного матеріалу у початкових класах
Головне спрямування геометричного матеріалу, визначеного програмою і реалізованого в системі ретельно дібраних задач, – сформувати достатньо повну систему геометричних уявлень (образи геометричних фігур, їх елементів, відношень між фігурами та їх елементами).
На цій основі формуються просторові уявлення й уява, розвивається мова й мислення учнів, а також організовується робота, спрямована на вироблення важливих практичних навичок.
Перед учителем постає важливе завдання дібрати методику розкриття змісту геометричного матеріалу на тому рівні, якого досягнуть учні на чає їх переходу до IVкласу, а також визначитеголовні напрямки вивчення цього матеріалу.
Робота з формуваннягеометричних уявлень має проводитися так: властивості фігур учні виявляють експериментально, одночасно засвоюють необхідну термінологію й дістають певні навички; головне місце в навчанні повинні посідати практичні роботи учнів, спостереження й робота з геометричними об'єктами.
Оперуючи різноманітними предметами, моделями геометричних фігур, розглядаючи їх у процесі численних дослідів, учні помічають найзагальніші їх ознаки (що не залежить від матеріалу, кольору, положення, маси і т.п.).
У методиці формування геометричних уявлень важливо іти від «речі» до фігури (до її образу), а також навпаки, – від образу до реальної речі.
Це досягається систематичним використанням прийому матеріалізації геометричних образів. Наприклад, пряму лінію не тільки креслимо за допомогою лінійки, уявлення про неї дає і край – ребро лінійки, натягнута нитка, лінія згину аркуша паперу, лінія перетину двох площин (наприклад, площин стіни і стелі). Абстрагуючись від конкретнихвластивостей матеріальних речей, учні оволодіваютьігеометричними уявленнями. Так, наприклад, можнавидозмінюватиспосіб ділення многокутника відрізкомна частини.
У І класі в основному завершується початкове ознайомлення з фігурами і їх назвами. Цього досягають, розглядаючи навколишні предмети, готові моделі і зображення фігур. Діти поступово опановують схему вивчення фігур, їх аналізу і синтезу, що полегшує засвоєння властивостей кожної фігури.
Чільне місце в методиці відводиться прийому зіставлення і протиставлення геометричних фігур. У І класі це дає змогу з множини фігур наочно (без визначень) виділяти множини відповідно кругів, многокутників, ліній і т.д.; у II и III класах уточнювати властивості фігур, класифікувати їх, Волика увага приділяється протиставленню і зіставленню плоских фігур (круг – многокутник, коло – круг і т.д.); плоских і просторових фігур (квадрат – куб; круг – куля та ін.).
Причомуця робота має відбуватися не тільки на урокахматематики, а й па уроках трудового навчання й особливо – малювання, коли відтворення форми предмета залежитьвід якостій глибини аналізу його геометричної форми. Наприклад, розглядаючи куб (або предмет, який мас форму куба), треба знайти в ньому характерні точки, відрізки, многокутники, під час розгляду кулі можна звернути увагу на її круглі перерізи.
Уже в процесі початкового ознайомлення з геометричними фігурами в І класі діти виконують розумові операції аналізу й синтезу. Важливим завданням учителя, яке визначає методику навчання на цьому етапі, є аналіз фігури, на основі чого виділяються її істотні властивості (ознаки) і неістотні. Так, істотним для трикутника є не його положення на площині (аркуші паперу), не відносні розміри сторін, а їх кількість – три сторони (кути, вершини); для прямокутника істотним є те, що він чотирикутник (чотири кути) і всі його кути – прямі. Все інше не істотне.