Формування в учнів умінь розв’язувати задачі на рух (стр. 9 из 14)

– Задача має і другий спосіб розв'язування. Уявіть собі, як рухаються катер і буксир. Лише в початковий момент руху вони перебувають поруч. А далі з першої ж хвилини катер починає випереджати буксир. Чому? (Бо його швидкість більша.) Чи можна взнати, на скільки кілометрів випередить катер буксир через 1 годину? (Можна: 27 – 18 = 9 (км).) Вчитель показує цю відстань на малюнку. Протягом другої години катер знову випередить буксир на 9 км. То яка відстань буде між катером і буксиром через 2 години? (9 + 9 = 18 (км).) А через 3 години? (18 + 9 = 27 (км).) Вчитель щоразу показує ці відстані на малюнку:

Можна підкреслити, що катер за 2 год пройшов відстань, на подолання якої буксирові знадобилося 3 год: 27 • 2 = 54 (км); 18 • 3 = 54 (км).

Тому на малюнку не випадково другий і третій прапорці на кожній прямій розміщені строго один під одним. Учні записують розв'язання другим способом:

1) 27 – 18 = 9 (км) – на стільки катер випереджає буксир за кожну годину;

2) 9 • 3 = 27 (км) – на стільки він випередить буксир через 3 години.

Відповідь. На 27 км.

Задача 10 (№693).

Від Луганська до Львова летіли літак і вертоліт. Спочатку літак був позаду вертольота на 400 км. Швидкість літака 12 км/хв, а вертольота – 2 км/хв. Яка буде між ними відстань через 20 хв? Коли літак порівняється з вертольотом? Яка відстань буде між ними через 1 год?

І спосіб.

Бесіда. Подивіться на малюнок і скажіть, який момент польоту на ньому зображено? (Початковий момент, коли між: літаком і вертольотом відстань становила 400 км.) Щоб дізнатися, яка відстань буде між літаком і вертольотом через 20 хв, давайте спочатку визначимо, де опиниться кожен з них через 20 хв. Чи можемо ми взнати, скільки кілометрів пролетить літак за 20 хв? (Так. 12 • 20 = 240 (км).)

Вчитель відмічає місцезнаходження літака прапорцем. Про що тепер можна дізнатися? (Скільки кілометрів пролетить вертоліт за 20 хвилин: 2 • 20 = 40 (км).)

Вчитель показує і цю відстань на малюнку:

Як можна тепер обчислити відстань між прапорцями? Можна дізнатися, на якій відстані від Луганська буде вертоліт. А на якій відстані від Луганська в цей момент буде літак, ми вже знаємо. То як тоді дізнаємося про відстань між літаком і вертольотом? (Від усієї відстані, яку пролетів від Луганська вертоліт, віднімемо відстань, яку пролетів літак.) При цьому вчитель усі відстані показує на малюнку. Після цього учень коментує, а решта учнів записують дії з поясненням:

1) 12 • 20 = 240 (км) – пролетів літак за 20 хв;

2) 2 • 20 = 40 (км) – пролетів вертоліт за 20 хв;

3) 400 + 40 = 440 (км) – пролетів усього вертоліт;

4) 440 – 240 = 200 (км) – буде відстань між ними через 20 хв.

Чи можна обчислити цю відстань по іншому? Подивіться на малюнок і покажіть, з яких двох частин складається відстань між прапорцями. (Один учень показує). Чи можемо ми обчислити першу частину? (Так, треба від 400 км відняти відстань, яку пролетів літак). Що зробимо після цього? (До знайденого результату додамо другу частину – 40 км.)

II спосіб.

1) 12 • 20 = 240 (км) – пролетів літак за 20 хв;

2) 400 – 240 = 160 (км) – не долетів літак до місця, в якому перебував вертоліт у початковий момент;

3) 2 • 20 = 40 (км) – пролетів вертоліт за 20 хв;

4) 160 + 40 = 200 (км) – буде відстань між ними через 20 хв.

Ви бачите, що другий спосіб не є коротшим від першого.

Але є ще один спосіб, без обчислення відстаней, які пролетіли літак і вертоліт за 20 хв. Подивіться на їхні швидкості. Як вони описують рух обох літальних апаратів? (Обидва рухаються в одному напрямі. Літак летить швидше, отже, наздоганяє вертоліт, тому відстань між ними скорочується.) Отже, найбільша відстань (400 км) була між ними у початковий момент, а далі вона почала зменшуватися, тобто літак почав наближатися до вертольота. Чи можемо ми взнати, на скільки кілометрів наблизиться літак до вертольота за 1 хв? Можемо. За 1 хв літак пролетить 12 км.

Якби вертоліт не рухався, це означало б, що літак за 1 хв наближається до вертольота на 12 км. Але вертоліт за цю ж хвилину віддаляється від літака на 2 км. Отже, в цілому, літак за хвилину наблизиться до вертольота не на 12 км, а на 12 – 2 = 10 (км). Якщо обидва рухаються в одному напрямі 20 хв, на скільки кілометрів вони зблизяться через 20 хв? (На 10 • 20 = 200 (км).) Якщо початкова відстань між ними була 400 км, а за 20 хв ця відстань зменшилась на 200 км, то про що можна дізнатися? (Яка відстань стала між літаком і вертольотом через 20 хв.)

Один учень на дошці записує третій спосіб розв'язання, коротший за попередні.

III спосіб.

1) 12 – 2 = 10 (км) – на таку відстань наближається літак до вертольота за кожну хвилину.

2) 10 • 20 = 200 (км) – на таку відстань наблизиться літак до вертольота через 20 хв;

3) 400 – 200 = 200 (км) – буде відстань між ними через 20 хв.

Ми відповіли лише на перше запитання. Тепер дізнаємося, коли літак порівняється з вертольотом. Що це означатиме? (Що обидва перебуватимуть на однаковій відстані від Луганська.) Вчитель показує на малюнку цю точку:

Літак порівняється з вертольотом, коли початкова відстань між ними 400 км скоротиться до нуля. За одну хвилину вона скорочується на 10 км. То як дізнатися, скільки хвилин триватиме це скорочення? (400: 10 = 40 (хв).) Отже, через 40 хв початкова відстань між ними зійде нанівець, тобто літак наздожене вертоліт.

Давайте перевіримо, чи дійсно через 40 хв і літак, і вертоліт перебуватимуть на однаковій відстані від Луганська. На якій відстані від Луганська буде знаходитися літак? (12 • 40 = 480 (км).) А як дізнатися, на якій відстані від Луганська перебуватиме в цей момент вертоліт? (2–40 = 80 (км) – стільки пролетить вертоліт за 40 хв; 400 + 80 = 480 (км) – на такій відстань від Луганська перебуватиме вертоліт.) Ви бачите, що відстані від Луганська однакові і у літака, і у вертольота, отже вони, у цей момент перебувають в одній точці траси. Це означає, що через 40 хв літак дійсно порівняється з вертольотом.

Залишилося дати відповідь на останнє запитання: яка відстань буде між ними через 1 год? Цю відстань можна теж обчислити довшим і коротшим шляхом. Під керівництвом учителя учні записують обидва способи.

І спосіб.

1) 2 • 60 = 120 (км) – пролетить вертоліт через 1 год;

2) 400 + 120 = 520 (км) – відлетить вертоліт від Луганська;

3) 12 • 60 = 720 (км) – пролетить літак через 1 год;

4) 720 – 520 = 200 (км) – на стільки літак випередить вертоліт. Вчитель у ході розв'язування показує ці відстані на малюнку:

ІІ спосіб.

1) 12 – 2 = 10 (км) – на стільки наблизиться літак до вертольота за 1 хв;

2) 10 • 60 = 600 (км) – на стільки може наблизитися літак до вертольота за 60 хв;

3) 600 – 400 = 200 (км) – на стільки літак випередить вертоліт через годину.

Ви бачите, що за 1 год відстань між літаком і вертольотом може скоротитися на 600 км. Якби вертоліт у початковий момент перебував від літака на достатньо великій відстані, то так і сталося б. Але початкова відстань між ними становила лише 400 км. Тому літак може наближатися до вертольота, лише скорочуючи до нуля 400 км, а решту 200 км – почне від нього віддалятися, тобто випереджувати.

Покажемо етапи формування навичок розв’язувати задачі на рух за течією і проти течії.

Задача 11. Від пристані А одночасно вирушили вниз за течією катер і пліт. Катер спустився вниз на 96 км, далі повернув назад і повернувся до пристані А через 14 год. Знайти швидкість катера у стоячій воді і швидкість течії, якщо відомо, що катер зустрів пліт на зворотному шляху на відстані 24 км від пристані А.

На основі цієї задачі складена система задач для молодших школярів. Перед розв'язуванням їх учитель може навести аналогії «руху у стоячій воді», «руху за течією», «руху проти течії» із повсякденного довкілля, відповідно такі, як рух пішохода по тротуару, рух пасажира в автобусі від задніх до передніх дверей під час руху автобуса (рух пасажира сходинками ескалатора, що рухаються, тощо), рух пасажира у напрямку задніх дверей під час руху автобуса, потягу тощо).

Задача 13. Від пристані А одночасно вирушили вниз за течією катер і пліт. Яка відстань буде між ними через 6 год, якщо швидкість катера у стоячій воді на 12 км/год більша за швидкість течії, а швидкість течії 2 км/год?

Перед розв'язуванням цієї задачі учням слід повідомити, що швидкість катера у стоячій воді називають також власною швидкістю катера.

Після ознайомлення школярів з умовою задачі учитель має роз'яснити, що швидкість катера за течією більша за його швидкість у стоячій воді на величину швидкості течії, тобто ((12 + 2) + 2) = 16 (км/год) і що пліт і течія мають однакові швидкості (2 км /год).

При подальшому розв'язуванні задачі можна базуватися на поняттях, сформованих під час розгляду задач на «рух в одному напрямку». Доцільно звернути увагу учнів на те, що катер випереджає пліт (віддаляється від плота) на 14 км за кожну годину, що дорівнює швидкості катера у стоячій воді. Тому задачу варто розв'язати двома способами, що буде і перевіркою розв'язування. Графічна ілюстрація змісту задачі:

Розв'язання: 1 спосіб:

1) 12 + 2 = 14 (км/год) – швидкість катера у стоячій воді;

2) 14 + 2 = 16 (км/год) – швидкість катера за течією;

3) 16 • 6 = 96 (км) – проплив катер за 6 год;

4) 2 • 6 = 12 (км) – проплив пліт за 6 год;

5) 96 – 12 = 84 (км) – відстань між ними через 6 год.

Відповідь. 12 км.

2 спосіб:

1) 12 + 2 = 14 (км/год) – швидкість катера у стоячій воді;

2) 14 + 2 = 16 (км/год) – швидкість катера за течією;

3) 16 – 2 = 14 (км/год) – на стільки більша швидкість катера за течією, ніж плота (швидкість віддалення);

4) 14 • 6 = 84 (км) – відстань між катером і плотом через 6 год.

Відповідь. 84 км.

Задача 14. Від пристані А спускається вниз за течією пліт зі швидкістю 2 км/год, а через 7 год від пристані А у тому ж напрямку відправляється катер, який наздоганяє пліт через 1 год. Яка швидкість катера у стоячій воді?