Формирование познавательной потребности у учащихся средствами информационных технологий (стр. 13 из 17)

Ход урока:

Сообщение учащимся темы и целей урока: Тема нашего сегодняшнего урока: Интеграл. Площадь криволинейной трапеции (Слайд 1).

Исторические сведения об интеграле (Слайд 2):

Определение криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции. Если на [а;b] ([а;b] ?Ох) функция у=f(х) – непрерывная, не меняет знак (график не пересекает ось абсцисс), тогда фигура, ограниченная графиком функции f, отрезком [а;b] и прямыми х = а, х = b, называется криволинейной трапецией (слайд 8).

Если f - непрерывная и неотрицательная на отрезке [а;b] функция, а F – её первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [а;b], т.е.

Введение понятия "интеграл".

Рассмотрим другой подход к задаче вычисления площади криволинейной трапеции. Для простоты будем считать функцию f неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; b] тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом.

Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков одинаковой длины точками x₀ = а<x₁ < x₂ < … <x_n-1 < x_n = b и пусть

, где k = 1, 2, ..., n — 1, n. На каждом из отрезков [x_k-1; x_k] как на основании построим прямоугольник высотой F(x_k-1). Площадь этого прямоугольника равна:

а сумма площадей всех таких прямоугольников равна:

В силу непрерывности функции f объединение построенных прямоугольников при большом n, т. е. при малом Δx, "почти совпадает" с интересующей нас криволинейной трапецией. Поэтому возникает предположение, что Sn≈S при больших n. (Коротко говорят: "S_n стремится к S при n, стремящемся к бесконечности"— и пишут: S_n→S при n→∞.) Предположение это правильно. Более того, для любой непрерывной на отрезке [а; b] функции а (не обязательно неотрицательной) S_n при n→∞ стремится к некоторому числу. Это число называют (по определению) интегралом функции f от а до b и обозначают

, т. е.

при n→∞

(читается: "Интеграл от а до b эф от икс дэ икс"). Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Знак

называют знаком интеграла. Функция f называется подынтегральной функцией, а переменная х — переменной интегрирования. Итак, если f(х)≥0 на отрезке [а; b] то площадь S соответствующей криволинейной трапеции выражается формулой

Пример: Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - х2 и у = 0

Решение:

1. Построим криволинейную трапецию:

у = 4 - х2

- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз.

у = 0 - ось абсцисс.

2. Найдём [а;b]:

4-х2 = 0;

х2 = 4

х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2

3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле:

S = F(b) – F(а)

Домашнее задание (Слайд 10).

Урок 2

Тема урока: Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций с помощью интегралов. Вычисление определенного интеграла с помощью программ MSExcel.

Цель: Обеспечить закрепление понятия интеграл, способы его вычисления, применение интеграла для вычисления площадей.

Задачи:

Обучающая: сформировать навыки планирования ответа, умение считать и писать в быстром темпе, навыки самоконтроля

Развивающая: развивать познавательную потребность учащихся.

Воспитательная: воспитывать умение организовать свою деятельность, формирование ценностной ориентации, мировоззрения.

Содержание урока: Данная тема рассчитана на два часа и состоит из двух частей: часть 1 – "Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций с помощью интегралов. Вычисление определенного интеграла с помощью программ MSExcel". Вторым часом нами был проведен интегрированный урок (физика + математика) по теме "Применение интеграла при решении физических задач"

Оборудование: интерактивная доска, рабочий листок для каждого ученика, тесты, подготовленные страницы флипчарта, лото компьютер с установленной программой MSOffice 2003.

План урока:

1. Организация начала урока.

2. Постановка проблемы урока.

3. Актуализация ЗУН, необходимых для творческого применения знаний.

4. Контроль и самоконтроль знаний, умений и навыков по теме интеграл

5. Формирование новых понятий и способов действий

6. Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

7. Усвоение образца комплексного применения ЗУН

8. Применение знаний умений и навыков в новых условиях

9. Подведение итогов урока

Ход урока:

Каждый из учащихся до урока получает рабочий листок ученика (см. в конце плана урока), на котором записаны этапы урока. Это может позволить учащимся работать в удобном им ритме. Именно в нём учащийся выполняет задания, и после урока лист сдаётся. Часть заданий можно проверить с помощью компьютера или интерактивной доски на уроке. Учащиеся могут выполнять задания в любой удобной для них последовательности. Выбор заданий самостоятельной работы (лото) также произволен, по договорённости с членами группы, которая может формироваться произвольно. Варианты самостоятельной работы можно составить различными по степени трудности для учёта индивидуальных особенностей учащихся. На уроке предусмотрена работа в парах и группах. Объём выполненной работы на уроке и степень самостоятельности оценивается учителем по рабочему листу ученика.

Необходимые для выполнения на уроке задания разнообразны по форме подачи условия (текст, лото, тест, игровые моменты), позволяют развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся сформировать:

· Умение применить знания на практике

· Умения чётко и ясно излагать свои мысли

I. Организационный момент.

Сегодня мы заканчиваем изучение темы "Интеграл". Мы познакомились с понятием интеграл, узнали о его применении для вычисления площадей фигур. На сегодняшнем уроке мы ещё раз пролистаем страницы применения этого математического понятия. А также научимся вычислять определенный интеграл с помощью компьютерных программ.

II. Актуализация знаний

Карточка №1 Найти пары чисел а и в, при которых функция f(x) удовлетворяет условиям

f(x)= ах² –в,

= 6, f ' (3) = 48

Решение:

f ' (x)=2ах; 6а = 48; а = 8,

= = =

=6, в=18

Карточка №2 Вычислить интеграл, используя его геометрический смысл.

Решение: у=

,

у

0

у² =2х – х² , (х-1)² + у² =1

Это уравнение окружности с центром (1;0) и радиусом R=1. Площадь круга данного радиуса S_кр =

R²= . Учитывая, что у 0

= =

Карточка №3

При каком значении а (1/2< а <18) S₁

S₂ ?

Решение:

S₁=

S₂₌

По условию S₁

S_{2 ,} значит lna+ln2 ln18-lna _,

2 lna

9; а² 9; -3 а 3