Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах (стр. 5 из 9)
Разность S(t2)-S(t1) называют интегралом от функции v(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:
.2. Импульс силы.
Пусть на тело массой m в течение времени t действует какая-то сила F(t). Найти количество движения тела при заданной зависимости силы от времени за промежуток времени [t1; t2].
Как известно из физики второй закон Ньютона в импульсном представлении выражает уравнение
ΔР=FΔt.
Произведение P=mv(t) массы на скорость называется «количеством движения». Так как скорость тела зависит от времени, то за промежуток времени [t1; t2] искомое количество движения может быть найдено так: Р(t2)-Р(t1).С другой стороны Р(t)есть первообразная функции F(t).Таким образом вычисление количества движения тела за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной Р(t) функции F(t).
Разность P(t2)-P(t1) называют интегралом от функции F(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:
.Величина
называется также «импульсом силы» за время [t1; t2]. Словесная формулировка результата: изменение количества движения равно импульсу силы.3. Количество электричества.
Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Вычислим количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b] через сечение проводника. Если бы сила не менялась со временем, то изменение количества электричества q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I=I(t) в зависимости от времени. Тогда количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b], равно q(b)-q(a). С другой стороны на малом промежутке времени можно считать силу тока постоянной и равной I(t), а dq=I(t)dt, следовательно, вычисление количества электричества за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной функции I(t).
Разность q(b)-q(a) называют интегралом от функции I(t) на отрезке [a; b] и обозначают так:
.4. Вытекание воды из сосуда.
Данная задача проста и наглядна в своей постановке для учащихся.
Представим себе сосуд, из которого вытекает вода. В момент времени t поток воды вычисляется по формуле q=q(t). Найдем объем воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2]. Объем воды, находящейся в сосуде, обозначим через V. Этот объем со временем меняется, т. е. V есть функция времени t.
Рассмотрим промежуток времени [t1; t2]. Очевидно, что за это время из сосуда вытечет V(t2)-V(t1) воды. С другой стороны, поток воды – это величина, характеризующая скорость изменения количества воды в сосуде, т.е. dV=q(t)dt. Следовательно, вычисление объема воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2], сводится к отысканию первообразной функции q(t).
Разность V(t2)-V(t1)называют интегралом от функции q(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:
.Все вышерассмотренные модели – это наиболее часто встречающиеся в школьном курсе физики законы и формулы, поэтому они не требуют от учащихся дополнительных знаний по физике, а, следовательно, удовлетворяют как принципу научности, так и принципу доступности материала.
2.2. Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей
При изучении интеграла существенным является отбор свойств, которые необходимо знать ученикам. Их должно быть достаточно для рассмотрения приложений интеграла и в то же время не должны вводиться свойства, без которых можно обойтись в дальнейшем. Доказательство свойств при разных подходах к введению понятия интеграла может быть разным.
Ниже приведенные свойства интеграла рассматриваются на различных физических моделях.
10.
.Рассмотрим доказательство данного свойства на задаче о перемещении точки.
При введении интеграла рассматривается случай, когда нижний предел интегрирования меньше верхнего. Но определенный интеграл можно обобщить и на случай, когда верхний предел меньше нижнего. В этом случае обратимся к определению интеграла как суммы. Разбивая отрезок от [a; b] промежуточными значениями t1, t2, …,tn-1, убедимся, что все Δt теперь отрицательны. Легко убедиться, что
, (1)так как при любом разбиении отрезка [a; b] соответствующие суммы будут отличаться знаками всех Δt во всех слагаемых. [7]
20.
.Докажем свойство на примере задачи о перемещении точки.
Существенное свойство интеграла состоит в том, что область интегрирования можно разбить на части: путь, пройденный за время от а (начала) до b (конца), можно представить
 |
как сумму пути, пройденного за время от a до c (промежуточного момента) и от c до b
. (2)При помощи соотношения (1) можно распространить формулу (2) и на случай, когда с не лежит внутри промежутка [a; b].
Пусть c>b>a. Тогда очевидно
.Перенесем последнее слагаемое в левую часть и воспользуемся (1)
. (3)Таким образом, получили равенство (3), в точности совпадающее с (2).
Аналогично можно рассмотреть случаи другого расположения чисел a, c, b (их всего шесть вариантов). Учащиеся легко могут самостоятельно убедиться, что формула (2) оказывается верной во всех этих случаях, т. е. независимо от взаимного расположения чисел a, c, b.[7]
Выведенное свойство называется свойством аддитивности интеграла.
30.
, 
.Рассмотрим доказательство этих свойств на примерах задачи о работе переменной силы и задачи о давлении жидкости на стенку.
3.1. Пусть к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы F1(x) и F2(x), направленные по одной прямой в одну сторону. Под действием этих сил материальная точка переместилась из точки а в точку b, при этом работа каждой силы на этом отрезке вычисляется по формулам:
и 
. Тогда общая работа, совершенная обеими силами равна 
. (4)С другой стороны, если к телу приложены две силы F1(x) и F2(x), направленные по одной прямой в одну сторону, то их равнодействующая F(x) находится по формуле F(x)= F1(x)+F2(x). Работа этой силы равна
. (5)В силу равенства левых частей в формулах (4) и (5), получаем равенство правых, т. е.
.Нетрудно показать, что данное свойство выполняется для любого конечного числа сил, действующих на точку и направленных по одной прямой в одну сторону. Это свойство показывает, что интеграл суммы нескольких слагаемых разбивается на сумму интегралов отдельных слагаемых.
Если же к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы F1(x) и F2(x), направленные по одной прямой, но в противоположную сторону, то их равнодействующая F(x) при F1(x)>F2(x) находится по формуле F(x)= F1(x)-F2(x). Тогда верно следующее равенство
.3.2. Ранее был приведен метод введения интеграла, основанный на рассмотрении задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна с основанием а, в результате решения которой получена формула