Теория игр (стр. 3 из 13)
Если первый игрок будет придерживаться своей максиминной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше a.
Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии Вj, 
в худшем случае получит проигрыш 
. Он выбирает стратегию Bjопт, при которой его проигрыш будет минимальным и составит
.
Определение 3. Величина b - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия Bjопт, обеспечивающая получение проигрыша b, называется минимаксной.
Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше b.
Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство a£b.
Определение 4. Если a = b =v, т.е.
= 
,
то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) определяется числом v. Оно называется ценой игры.
Определение 5. Если a = b =v, то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы аiопт jопт =v, соответствующий паре оптимальных стратегий (Aiопт, Bjопт), называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.
Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков. Их совокупность - решение игры, которое обладает свойством: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии не может быть выгодным.
Определение 6. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.
Найдем решение игры рассмотренного выше примера:
,
a = a3 - нижняя цена игры.
,
b = b3 - верхняя цена игры.
Так как a = b = 0, матрица игры имеет седловую точку.
Оптимальная стратегия первого игрока - А3, второго - B3. Из таблицы видно, что отклонение первого игрока от оптимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от В3 увеличивает его проигрыш.
Наличие седловой точки в игре - это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией.
Определение 7. Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т.е. результаты всех предыдущих ходов.
Примерами игр с полной информацией могут служить шашки, шахматы, "крестики-нолики" и т.д.
Теорема 1. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях.
В каждой игре с полной информацией существует пара оптимальных стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный цене игры v. Если решение игры известно, сама игра теряет смысл. Например, шахматная игра либо кончается выигрышем белых, либо выигрышем черных, либо ничьей, только чем именно - мы пока не знаем (к счастью для любителей шахмат). Прибавим еще: вряд ли будем знать в обозримом будущем, так как число стратегий так велико, что крайне трудно привести шахматную игру к матричной форме и найти в ней седловую точку. Указать откуда это взялось, т.е. указать ссылки
1.3 Решение матричной игры в смешанных стратегиях
Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a <b и 
, то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами.
Определение 1. Сложная стратегия, состоящая в случайном применении всех стратегий с определенными частотами, называется смешанной.
В игре, матрица которой имеет размерность m ´ n, стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей 
(x1, x2,..., xm), с которыми игрок применяет свои чистые стратегии. Эти наборы можно рассмотреть как m-мерные векторы, для координат которых выполняются условия
, xi³ 0, 
.
Аналогично для второго игрока наборы вероятностей определяют n-мерные векторы 
(y1, y2,..., yn), для координат которых выполняются условия
= 1, yj³ 0, 
.
Выигрыш первого игрока при использовании смешанных стратегий определяют как математическое ожидание выигрыша, т.е. он равен
.
Теорема 1. (Неймана. Основная теорема теории игр) Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий. Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры: a£v£b. Применение первым игроком оптимальной стратегии 
оптдолжно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры. Поэтому выполняется соотношение
, .
Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотношение
, .
Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий.
Определение 2. Дублирующими называются стратегии, у которых соответствующие элементы платежной матрицы одинаковы.
Определение 3. Если все элементы i-й строки платежной матрицы больше соответствующих элементов k-й строки, то i-я стратегия игрока А называется доминирующей над k-й стратегией. Если все элементы j-го столбца платежной матрицы меньше соответствующих элементов k-го столбца, то j-я стратегия игрока В называется доминирующей над k-й стратегией.
Пример. Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей
.
a = max (2, 2, 3,2) = 3, b = min (7, 6, 6, 4,5) = 4, a¹b, 
.
Все элементы стратегии А2 меньше элементов стратегии А3, т.е. А2 заведомо невыгодна для первого игрока и ее можно исключить. Все элементы А4 меньше А3, исключаем А4.
.
Для второго игрока: сравнивая В1 и В4, исключаем В1; сравнивая В2 и В4, исключаем В2; сравнивая В3 и В4, исключаем В3. В результате преобразований получим матрицу
.
a = max (2,3) = 3, b = min (4,5) = 4, a¹b, .
1.4 Решение игр графическим методом
Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.
Первый случай. Рассмотрим игру (2 ´ 2) с матрицей
без седловой точки. Решением игры являются смешанные стратегии игроков (x1, x2) и (y1, y2), где x1 - вероятность применения первым игроком первой стратегии,x2 - вероятность применения первым игроком второй стратегии,y1 - вероятность применения вторым игроком первой стратегии,y2 - вероятность применения вторым игроком второй стратегии. Очевидно, что