Роль умственного приема классификации в формировании математических понятий у младших школьников (стр. 9 из 20)

Примечание. Подход к операции умножения как к сумме одинаковых величин позволяет объяснить смысл умножения натуральных чисел, начиная с двух. Умножение на 1, на 0, умножение дробных чисел нельзя рассматривать с позиции суммы одинаковых слагаемых.

4. Свойство неограниченной делимости.

Любую величину а при произвольном натуральном числе m можно представить в виде суммы одинаковых величин b: а = b + b + …+ b или а = b m. Это означает, что b является той m –той частью а, то есть величина b есть 1/m доля величины а.

Доля является одним из случаев обыкновенной дроби, что и надо подчеркнуть при изучении доли в начальных классах. Это можно сделать, например, в ходе решения следующих задач.

Задача 1. 12 яблок разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок получит каждый ребенок?

Каждый ребенок получит четвертую часть от 12 яблок, то есть по 3 яблока.

Задача 2. Одно яблоко надо разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок получит каждый?

Каждый получит четвертую часть, то есть 1/4 яблока.

Задача 3. Пять яблок надо разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок получит каждый?

Каждый получит четвертую часть, то есть 1 яблоко и еще 1/4 яблока, что составляет 1и 1/4 яблока или 5/4 яблока.

5. Аксиома Архимеда.

Если а и b две однородные величины и а > b, то найдется такое натуральное число n, что а < b n.

Эта аксиома позволяет выполнять измерения величин, что широко применяется в начальных классах.

В ходе измерения ученики получают конкретное натуральное число (в данном случае это число 4).

Пример 2. Измерить емкость банки с помощью стакана. Сколько стаканов помещается в банке?

Пример 3. Измерить площадь многоугольника данной меркой (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Наличие общей мерки.

Общей меркой однородных величин a и b называется такая величина c, которая помещается в a и b целое число раз: a = c x n и b = c x m.

Свойство двух однородных величин иметь общую мерку лежит в основе формирования понятия обыкновенной дроби.

В начальных классах представление об обыкновенной дроби можно сформировать с помощью следующей практической работы.

Детям предлагается измерить отрезок AB с помощью отрезка CD (рис. 2.12).

Дети убеждаются, что отрезок CD не помещается в AB целое число раз. Тогда им предлагается в качестве мерки отрезок МК, с помощью которого они измеряют отрезки AB и CD. Пусть в отрезке AB отрезок МК помещается 4 раза, а в отрезке CD – 3 раза. Значит, отрезок МК является 1/3 частью отрезка CD и поэтому в отрезке AB отрезок CD помещается 5/3 раза. Таким образом, в результате измерения отрезка AB отрезком CD получилась дробь 5/3.

Примечание. Еще в глубокой древности ученые пришли к выводу, что существуют и величины, которые не имеют общей мерки. Таким образом, в результате измерения могут получиться натуральные числа, дробные числа (положительные рациональные числа) и иррациональные числа, то есть любое положительное действительное число есть результат измерения величин. Поэтому измерению различных величин в начальных классах должно быть уделено серьезное внимание.

Требования к измерению величин.

1. Равным однородным величинам должно быть поставлено в соответствие единственное число.

Формирование в начальных классах этого требования к измерению величин осуществляется в следующей последовательности:

а) визуальное сравнение;

б) опосредованное сравнение;

в) создание проблемной ситуации: как быть, если ни визуально, ни опосредованно сравнить нельзя. Ученики подводится к выводу, что нужно сравнить числа, которые получаются в результате измерения.

Примеры практических работ на визуальное сравнение, опосредованное сравнение, необходимость измерения величин были приведены выше.

2. Из множества однородных величин выбирается одна, которой ставится в соответствие число один.

Здесь важно показать, что за единицу измерения может быть взят любой элемент. Однако, если одинаковые по величине элементы будут измеряться разными единицами измерения, то полученные числа не помогут сделать верный вывод по сравнению этих элементов. Этот момент можно сформировать у учащихся с помощью следующей практической работы.

Пример 1. Учитель показывает три одинаковые полоски красного, белого и черного цветов и просит, не накладывая их назвать, какая из них короче, а какая – длиннее. Дети называют черную полоску самой короткой, а белой – самой длинной. Тогда, раздав одному ряду красные полоски, другому – белые, третьему черные, учитель просит измерить их мерками (полосками), которые заранее розданы на парты. В результате измерения красных полосок дети получают число 3, черных – 4, белых – 2. После этого учитель наложением полосок убеждает детей, что они одинаковой длины, и задает вопрос: «Почему в результате измерения получились разные числа?» Учащиеся приходят к выводу, что нужно договориться и измерять одинаковыми мерками (единицами измерения). После этого можно провести беседу о разных единицах измерения длин.

Пример 2. Аналогичную работу можно провести по измерению площадей, взяв одинаковые листы бумаги белого, черного и красного цветов, а за единицу измерения белого листа бумаги взять 1/2 листа, красного листа бумаги –1/4 листа, черного листа бумаги – 1/8.

3. Если величина «а» есть сумма величин «b» и «c», то ее мера равна сумме их мер.

Сформировать это требование можно при помощи следующих практических работ.

Пример 1. Надо перевязать пакет с помощью нескольких коротких веревочек. Ученики связывают нужное количество обрывков и перевязывают пакет. Дается задание: какой длины веревку нужно взять оператору почты, чтобы перевязать пакет такого же размера, если веревку связали из трех кусков длиной 10 см, 15 см и 30 см. Дети находят: 10см +25см +30 см =55 см.

Пример 2. Нужно сравнить две геометрических фигуры разной формы (рис. 2.12). В ходе измерения дети приходят к выводу, что фигуры равновелики, так как они равносоставлены.

Рис. 2.12

Пример 3. Учитель дает задание составить из одинакового набора геометрических фигур дом и собаку (рис. 2.13).

Рис.2.13

III. Геометрический материал.

Обычно геометрический материал рассматривается в начальных классах как некоторое вкрапление, не связанное с основным программным материалом. Однако, если обучение математике в начальных классах строить на понятии величины, то геометрический материал выступает не как изолированный, а как базовый, позволяющий формировать многие математические понятия (см. раздел "Величины").

Изучение геометрического материала должно начинаться с формирования представления о точке, линии, прямой линии, отрезке, луче, угле. Это можно осуществить с помощью, например, таких практических работ.

Пример 1. Учитель просит детей два раза ткнуть карандашом в лист бумаги и сообщает, что они получили две точки. Затем он просит, как угодно соединить их и говорит, что они получили линии, каждый свою (рис.2.14). Затем учитель просит отметить на линии красным карандашом несколько точек, синим карандашом - несколько точек над линией, зеленым карандашом - несколько точек под линией.

Рис. 2.14

Тем самым у учеников формируется представление о линии как множестве точек, о положении точек относительно линии (на, над, под).

Пример 2. Учитель предлагает детям бросить на парту веревочки, которые были им розданы. Ученики получают разные линии. Учитель предлагает взять веревочку за концы я натянуть, У детей получается отрезок прямой линии. Затем дети в тетрадях отмечают две точки и с помощью линейки проводят через них прямую линию.

Пример 3. Ученики отмечают в тетрадях три точки одна под одной и проводят через одну точку прямую линию, луч до второй точки и луч от третьей точки (рис. 2.15). Учитель вводит понятие луча и дети подводятся к выводу, что прямая, в данном случае, состоит из двух лучей.

Рис. 2.15

Пример 4. Детям предлагается соединить два луча так, чтобы получилась прямая линия, и не получилась прямая линия. Вводится понятие угла, вершины утла, сторон угла (рис. 2.16).

Рис. 2.16

Пример 5. Детям дается задание соединить три отрезка, которые заранее розданы на парты, концами так, чтобы получилась замкнутая ломанная линия. Учитель просит сосчитать углы у получившейся геометрической фигуры и говорит, что, так как у нее три угла, эту фигуру называют треугольником. Затем учитель просит составить треугольник из трех отрезков, сумма двух из которых меньше третьего отрезка (рис. 2.17).

Делается вывод, что в треугольнике обязательно две любые стороны вместе больше третьей стороны.

Аналогично учащиеся знакомятся и с другими геометрическими фигурами и их свойствами.

Вопрос об измерении геометрических фигур, о единицах измерения и взаимосвязях между ними достаточно подробно рассмотрен в разделе "Величины".

IV. Натуральные числа

Натуральное число имеет двоякую природу, так как отвечает на вопросы "сколько" и "какой по счету". Например, если стоит очередь, то

прежде, чем стать в нее, человек интересуется сколько в ней всего людей. А, когда он уже стоит в очереди, то его интересует, какой он по счету, т.е. сколько людей стоит пред ним.

Таким образом, существует два подхода к понятию натурального числа:

- теоретико-множественный (количественная теория) и аксиоматический (порядковая теория), которые тесно переплетаются в методике преподавания. Поэтому, чтобы избежать ошибок, учитель должен знать, какой из подходов лежит в основе изучения конкретного вопроса.