Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" (стр. 2 из 5)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Розглянемо тепер інтеграл від функції

(1.9)

підставимо (1.6), (1.7), (1,8) до формули (1.9)

(1.10)

Якщо позначити

(1.11)

(1.12)

то інтеграл (1.10) можна переписати у вигляді

(1.13)

Відкинувши у (1.13) похибку

, добудемо наближену формулу (1.4).

Означення. Квадратурна формула (1.4) будемо називати інтерполяційною, якщо квадратурні коефіцієнти

, визначаються формулами (1.11). Нагадаємо, що квадратурні вузли при цьому всі різні та всі розташовані на відрізку інтегрування, в усьому іншому вони довільні.

Формула (1.12) визначає похибку інтерполяційної квадратурної формули. З похибки видно, що алгебраїчний степінь точності інтерполяційної квадратурної формули дорівнює

. Збільшити степінь точності можна лише за рахунок вибору вузлів .

Квадратурні формули при сталій ваговій функції та з рівновіддаленими вузлами називають формулами Ньютона-Котеса у пам’ять того, що вперше вони в достатньому загальному вигляді були розглянуті Ньютоном, коефіцієнти вперше були добуті Котесом

[4].

Кінечний відрізок інтегрування

ділимо на рівних частин довжини , точки ділення беремо за вузли інтерполяційної формули. Спростимо вигляд квадратурних коефіцієнтів , , які визначаються формулою (1.11), підставивши туди

, .

Крім того перейдемо до нової змінної інтегрування

, де

Для виконання всіх цих дій спочатку розглянемо добуток у формулі (1.11)

(1.14)

Підставимо добуток (1.14) до формули (1.11) та перейдемо до нової змінної, будемо мати

(1.15)

Де

(1.16)

Квадратурна формула Ньютона-Котеса приймає вигляд

(1.17)

Алгебраїчна степінь точності формули (1.17) дорівнює

. Коефіцієнти (1.16) називаються коефіцієнтами Котеса. Вони мають властивості:

. Дійсно, підставимо до формули (1.17) , тоді , при цьому наближена формула стає точною. Виконуємо інтегрування властивість доведена.

, тобто рівновіддалені від кінців коефіцієнти формули Ньютона -Котеса є однаковими. Дійсно, маємо з формули (1.16)

Зробимо заміну змінної інтегрування

тоді

В добутку перейдемо до нового індексу

і властивість доведена

3. Коефіцієнти

не залежать від довжини відрізка інтегрування та підінтегральної функції , тому вони можуть бути обчислені раз і назавжди

В залежності від вибраного параметра n отримана загальна форма квадратурних рівнянь розподіляється на випадки [6]:

1) Коли

, то застосовуєма форма квадратурних рівнянь називається - „квадратурна формула трапеції”;

2) Коли

, то застосовуєма форма квадратурних рівнянь називається - „квадратурна формула Симпсона”;

3) Коли

, формула (1.19) не застосовується, оскільки значення не визначені, тому застосовується особливий випадок „квадратурної формули прямокутників (ліві, праві, центральні) ".

2. Чисельні методи інтегрування

2.1 Метод прямокутників

Нехай є відрізок

і нам треба обчислити визначений інтеграл

⁽2.1 1)

за попередньо представленою загальною квадратурною формулою Н’ютона - Котеса (1.4)

⁽2.1 2)

де

- деякі фіксовані вузли

Найпростіший варіант інтерполяційної квадратурної формули (2.1 2) виникає, коли

[1]. У цьому випадку не можна скористатися формулою (1.20), бо коефіцієнт (1.19) при невизначений. Тому, як і при побудові загальної інтерполяційної формули, замінимо підінтегральну функцію інтерполяційним багаточленом нульового степеня, що побудований за єдиним вузлом .

(2.1 3)

при заміні підінтегральної функції (2.1 2) інтерполяційним поліномом нульового степеня, що побудований по єдиному вузлу

⁽2.1 3)

Знайдемо коефіціент

(2.1 4)

Після інтегрування маємо квадратурну „формулу прямокутника”:

, (2.1 5)

При

її називають формулою лівих прямокутників,

При

її називають формулою правих прямокутників,

При

- центральних (або середніх) прямокутників.

Геометричне тлумачення цієї формули показано на рис 2.1

Рис.2.1 Геометричне зображення „формули прямокутників"

Оцінимо похибку

квадратурної формули (2.1 5) за умови, що . За означенням похибки квадратурної формули (2.1 5) маємо

(2.1 6)