Т.С. Костюк зазначає, що здібності людини виявляються в тому, як вона використовує наявні у неї знання і набуває нових знань, умінь і навичок, необхідних для розв'язання тих завдань, що їх ставить перед нею.
Кількісні виміри здібностей характеризують міру вираженості. Найбільш поширеною формою оцінки міри вираженості здібностей є тести. Тільки в останні два десятиліття вітчизняні психологи зайнялися систематичною розробкою оригінальних тестів, а також адаптацією зарубіжних. Здібності вивчалися такими зарубіжними психологами, як Кеттел, Спірмен, Біне, Айзенк, Равен, Векслер, Терстоун та ін. При дослідженні здібностей використовують систему тестів, які поступово ускладнюються, що одержало назву батереї тестів (тести досягнень, тести інтелекту, тести креативності).
Здібності людей поділяють на види передусім за змістом і характером їх діяльності, в яких вони виявляються. Розрізняють загальні і спеціальні здібності.
Загальними називають здібності людини, що тією чи іншою мірою виявляються у всіх видах її діяльності. Такими є здібності до навчання, загальні розумові здібності людини, її здібності до праці.
Під спеціальними здібностями розуміють здібності, що виразно виявляються в окремих спеціальних галузях діяльності (наприклад, сценічній, музичній, математичній тощо).
Отже, здібності — це індивідуально-психологічні особливості особистості, які є умовами успішного здійснення конкретної діяльності, проявляються у відмінностях у динаміці оволодіння необхідними для неї знаннями, уміннями, навиками.
У сучасних умовах філософи, соціологи, психологи, педагоги особливу увагу приділяють проблемі творчості і творчих здібностей особистості . Вітчизняні психологи переконливо довели, що задатки творчої здібності властиві будь-якій людині, будь-якій дитині. Не менш важливим є висновок психолого-педагогічної науки про те, що творчі здібності необхідно розвивати з раннього віку. Якщо ж дитину з перших років не привчати до творчої діяльності, то втрати від цього важко буде виправити в наступні роки. Отже, розвитку творчих здібностей дітей слід приділяти увагу з раннього дитинства.
Над проблемою розвитку творчих здібностей працювали багато науковців. Психологічні аспекти цього питання розглядалися у працях Л.Виготського, Г.Костюка, Т.Кудрявцева, Л.Леонтьева, А.Пономарьова, П.Якобсона та інших. Педагогічні та дидактичні аспекти розвитку творчих здібностей висвітлено в працях Г.Альштулера, П.Аутова, М.Левітова, В.Сидоренка, М.Сказіна, Ю.Столярова, Д.О.Тхоржевського та інших. Методичні підходи до розвитку творчих здібностей і технічної творчості досліджені у наукових працях В.Алексеєва, Г.Буша, В.Качнева, В.Моляко, А.Осборна та інших.
2.1 Поняття математичних здібностей та їх структура
Математичні здібності - це здатність утворювати на математичному матеріалі узагальнені, згорнуті, гнучкі й обернені асоціації та їх системи. До складових математичних здібностей слід віднести:
- здатність до формалізації математичного матеріалу, відокремлення форми від змісту, абстрагування від реальних ситуацій і їх кількісних відношень та просторових форм; оперування структурами відношень і зв'язків;
- здатність до узагальнення матеріалу;
- здатність до оперування числовою і знаковою символікою;
- здатність до логічних міркувань, пов'язаних з потребою доводити, робити висновки;
- здатність до скорочення процесу міркувань;
- здатність до переходу від прямого до оберненого ходу думки;
- гнучкість мислення незалежно від впливу шаблонів.
Математика сприяє виробленню особливого виду пам'яті — пам'яті, спрямованої на узагальнення, творення логічних схем, формалізованих структур, виховує здатність до просторових уявлень.
Наявність математичних здібностей в одних учнів і недостатня розвинутість їх в інших вимагає від учителя постійного пошуку, шляхів формування і розвитку таких здібностей у школярів.
Рівнева диференціація з урахуванням психології математичних здібностей учнів збільшує можливості роботи вчителя. Такий підхід створює умови для розвитку здібностей учнів, які мають природжені задатки до занять математикою, і забезпечує посильною роботою учнів, які не мають таких задатків. Виконуючи посильні завдання, учень отримує впевненість у своїх силах.
Вивчаючи математичні здібності, В.А. Крутецький дійшов висновку, що "мозок деяких людей своєрідно орієнтований (настроєний) на виокремлення з навколишнього світу подразників типу просторових і числових відношень та символів і на оптимальну роботу саме з такими подразниками". Тому "звичайним математиком можна стати, видатним, талановитим математиком треба народитися".
2.2 Психологічний аналіз учбових задач
Розв'язування задач - це робота дещо незвичайна, адже це розумова робота. А щоб навчитися будь-якій роботі, треба спочатку добре вивчити той матеріал, над яким доведеться працювати, ті інструменти, з допомогою яких буде виконуватись робота.
Усі задачі можна поділити на три типи:
- Задачі, які розв'язують для кращого засвоєння теорії;
- Тренувальні вправи, мета яких - виробити навички;
- Задачі, за допомогою яких розвивають математичні здібності учнів.
Для того щоб навчити учнів розв'язувати задачі, для початку, потрібно запропонувати їм розібратись у тому, що вони собою являють, як побудовані, з яких частин складаються, що потрібно знати, щоб розв'язати ту чи іншу задачу.
Учні п'ятого класу вже знають, що під математичною задачею розуміють будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, пов'язане з числовими величинами або геометричними фігурами. Арифметичною задачею називають вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числове значення інших величин і залежність, яка зв'язує їх як між собою, так і з шуканою величиною. У початкових класах в основному розглядаються так звані сюжетні задачі, в яких описується кількісна сторона деяких явищ. Сюжетну задачу, для розв'язання якої треба виконати дві чи більше пов'язаних між собою арифметичних дій, називають складеною. Щоб розв'язати складену задачу, пропоную учням спочатку скласти план розв'язування. План складається на основі аналізу задачі, який проводять від числових даних або від запитання.
Аналізу задачі передує ґрунтовне вивчення умови і запитання задачі.
Наприклад, задача. Велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. Йому залишилося проїхати на 16 км менше, ніж він проїхав. Яку відстань потрібно було проїхати велосипедисту?
Аналіз від числових даних. Відомо, що велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. За цими даними можна дізнатися, яку відстань проїхав велосипедист. Для цього треба швидкість помножити на час. Знаючи відстань, яку вже проїхав велосипедист, і те, що залишилося проїхати на 16 км менше, можна знайти відстань, яку залишилося проїхати. Для цього відстань, яку вже проїхав велосипедист, треба зменшити на 16 км. Знаючи, скільки кілометрів залишилося їхати, можна знайти весь шлях. Для цього треба виконати додавання знайдених відстаней.
Аналіз від запитання. У задачі треба знайти весь шлях, який має проїхати велосипедист. Ми не можемо одразу відповісти на це запитання, бо невідомо, скільки велосипедист вже проїхав і скільки йому залишилося їхати. Щоб знайти пройдений шлях, треба знати швидкість і час руху. Це в задачі відомо. Помножимо швидкість на час і дізнаємося про пройдений шлях. Відстань, яку велосипедист ще має проїхати, можна також знайти. Для цього знайдену відстань треба зменшити на 16 км. Отже, план розв'язування задачі такий:
1. Скільки кілометрів проїхав велосипедист за 4 години?
2. Скільки кілометрів велосипедисту залишилося проїхати?
3. Яку відстань мав проїхати велосипедист?
Підвищення ефективності навчання математики можна досягти, продуктивно реалізуючи всі дидактичні функції математичних задач.
Велику роль відіграють задачі, які учні складають самі. Складання задачі часто вимагає роздумів, які під час розв'язку готових задач не потрібні. Тому складання задач сприяє розвитку творчого мислення учнів.
Щоб вивчення математики викликало в учня задоволення, треба, щоб він заглибився у суть ідеї цієї науки, відчув внутрішній зв'язок усіх ланок міркувань, які дають можливість зрозуміти і саме доведення, і його логіку.
Якщо учень хоча б раз досяг ясності в розумінні суті, проник у внутрішній зв'язок понять і логічних висновків, то йому буде важко задовільнитися потім заучуванням без розуміння. І тоді він здійснить відкриття: процес власної думки вимагає значно менших зусиль і витрат часу, ніж вивчення напам'ять.
Щоб привчити учнів самостійно мислити, викликати в них віру у власні сили і розум , також виховати впевненість у своїх можливостях, необхідно примусити їх пройти через певні труднощі, а не подавати все в готовому вигляді.
У системі розвиваючого навчання під час вивчення математики важливе місце посідає обчислювальна практика. На 5-6 класи припадає основний обсяг роботи обчислень з раціональними числами. У наступних класах ці навички розвиваються і закріплюються, зростає питома вага наближених обчислень, використовується прикидка, оцінювання результатів обчислень. Широке використання мікрокалькуляторів не зменшує ролі обчислень без них і особливо усного виконання дій. Адже,користуючись мікрокалькуляторами,треба вміти робити прикидку очікуваного результату й округлювати його до потрібної точності, замінюючи деякі операції усним виконанням, уміти проаналізувати здобуту інформацію. Слід мати на увазі і розвиваючу функцію усних обчислень: вони активізують увагу і пам'ять учнів, спонукають їх до раціональної діяльності.
Якщо в учнів середніх класів добре сформовані ці навички, це є запорукою того, що в старших класах розв'язування задач не буде викликати особливих труднощів.