Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников (стр. 6 из 17)

Вывод: Логическое мышление – есть абстрактное, аналитическое, синтетическое мышление, функционирующее на базе языковых средств, активно развивающееся у человека, начиная с определенного возраста – с началом его обучения. Развитие логического мышления – это формирование у учащихся навыков осуществления логических операций, обучение их различным приемам логического мышления, вооружение знаниями логики и выработка умений и навыков использования этих знаний в учебной и практической деятельности. Этот процесс непосредственно связан с процессом обучения математике, правильная организация которого обеспечивает наиболее эффективное развитие логического мышления, в том числе и при решении геометрических задач. При этом ни одни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательности и логического мышления, представляя в то же время для них и наибольшую привлекательность, как задачи на построение.

3. Методика решения задач на построение

Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.

Одной из основных проблем методики обучения решению задач на построение является методика введения и изучения этапов решения конструктивных задач. Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.

3.1 Анализ

Анализ — это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру (если мы знаем, как строить искомую фигуру, то никакой анализ уже не нужен).

Анализ – подготовительный, предварительный этап решения задачи на построение.

Чтобы облегчить себе поиск связей между искомой фигурой и данными фигурами, обычно оказывается выгодным иметь перед глазами вспомогательный чертеж, чертеж-набросок, изображающий данные и искомые фигуры примерно в том расположении, которое предусмотрено условием задачи. Чертеж можно выполнить от руки, на глаз – это проект чертежа, который должен образоваться, когда задача уже решена.

На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения исходной фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанны в условии задачи.

Если вспомогательный чертеж не подсказывает способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена, и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры.

Также надо учитывать следующие моменты [2]:

1) если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т. д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым;

2) если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует ввести в чертеж, то есть следует изобразить их на чертеже-наброске, если их еще нет на нем;

3) в процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.

В Приложении 3 приведен анализ задачи на построение: “Построить треугольник, зная основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон”.

Из данного примера видно, что при отыскании решения задачи на построение, как и для арифметических задач, применяется аналитико-синтетический метод. Следуя от вопроса задачи, учитываем, какие элементы нам известны, и, наоборот, исходные данные комбинируем так, чтобы построить искомую фигуру.

Название этапа “анализ” не означает, что для отыскания решения применяется только аналитический метод, подобно тому, как и при доказательстве, которое иногда называют “синтезом”, не всегда применяется синтетический метод рассуждения. При разборе задачи, при отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.

3.2 Построение

Второй этап решения задач на построение состоит из двух частей:

1) перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи;

2) непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов. Действительно, решить задачу с помощью тех или иных инструментов — значит указать конечную совокупность элементарных, допустимых для данных инструментов, построений, выполнение которых в определенной последовательности позволяет дать ответ на вопрос задачи.

Данный этап вводится при решении самой первой задачи на построение, которой обычно является задача о построении отрезка, равного данному, на данном луче с концом в начале этого луча. В беседе, сопровождающей введение этапа, необходимо отметить, в чем состоит решение любой задачи на построение и указать, что осуществление этого этапа как раз и состоит в перечислении конечного числа операций построения искомой фигуры.

Рис. 1

Рассмотрим решение задачи: “Построить квадрат по его диагонали”.

Анализ. Проведя диагональ А₁С₁ (рис. 1), мы видим, что построение квадрата сводится к построению равнобедренного прямоугольного треугольника А₁В₁С₁ по его гипотенузе A₁C₁, который затем легко дополнить до квадрата.

Построение. Треугольник А₁В₁С₁можно строить различными способами. Например:

1) Строим угол B₁A₁C₁, содержащий 45°, и на одной его стороне откладываем отрезок А₁С_1, и равный данной диагонали. Проведя C₁B₁

A₁B₁, получим треугольник А₁В₁С₁, который дополняем до квадрата A₁B₁C₁D₁, что можно сделать различными способами.

2) Проведем через середину А₁С₁ перпендикуляр В₁О₁

А₁С₁и отложим B₁O₁=A₁O₁ и соединим В₁ с А₁ и С₁; получим треугольник A₁B₁C₁.

3) На А₁С₁, как на диаметре, строим окружность и из точки О₁ восставляем перпендикуляр О₁В₁

А₁С₁ до пересечения с окружностью в точке B₁. Соединив В₁ с А₁ и С₁, получим треугольник A₁B₁C₁. Проведя B₁D₁

A₁C₁, мы сразу можем получить точки B₁ и D₁, как и в предыдущем случае. Очевидно, что построение треугольника A₁B₁C₁ возможно и другими способами [11].

Решение одной и той же задачи несколькими способами усиливает интерес учащихся к задачам на построение и сознательное отношение к решению таких задач. Если решать задачи на построение все время по заранее указанным методам, то этим самым сковывается изобретательность и инициатива учащихся в нахождении различных и оригинальных способов решения и им трудно научиться самостоятельно решать конструктивные задачи. Они применяют в первую очередь знания изучаемого материала и навыки, полученные при решении задач, предшествующих данной. Если решались задачи, требующие применения определенного метода, то и для предложенной задачи они изберут тот же знакомый им путь решения, даже если он нерационален.Указание учителя на существование более простого способа не дает должного эффекта, так как предложенное учителем решение кажется учащимся искусственным, которого они сами не смогли бы найти.

Конечно, если это делать до того как ученики приобретут прочные навыки в отыскании решений различными способами, то результаты окажутся отрицательными. Внимание учащихся каждый раз будет распыляться между всеми способами, и они ни одного из них не усвоят основательно, чтобы применять его достаточно сознательно.