В главе 4 “Соотношения между сторонами и углами треугольника” рассматривается задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам и по трем сторонам. Данная глава содержит целый блок задач на построение для самостоятельного решения, который состоит в основном из задач на построение различных треугольников по различным элементам.
В конце 7 класса также имеется блок задач на построение, перед которым описывается схема, по которой решают задачи на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. Приводится пример.
б) 8 класс: содержит пять глав. В главе 5 “Четырехугольники” после изучения многоугольника, параллелограмма и трапеции вводится блок задач на построение параллелограмма и трапеции по различным элементам. Перед этим еще раз идет повторение схемы решения задач на построение. В этой же главе после изучения прямоугольника, ромба и квадрата предлагается решить задачи на их построение.
В главе 7 “Подобные треугольники” рассматриваются задача на построение треугольника, при решении которой применяется метод подобия (в данном случае треугольников), в качестве практического приложения подобия треугольников. Также приводится ряд задач на построение треугольников по данным отношениям для самостоятельного решения. Основная цель главы 7 – сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников, сформировать аппарат решения прямоугольных треугольников (см. Приложение 1).
В начале главы 8 “Окружность” в пункте “Касательная к окружности” решается задача о проведении касательной к окружности через данную точку. Говорится о том, что решение подобных задач основано на теореме (признаке касательной). Также в главе изучаются четыре замечательные точки треугольника. Задачи на построение (касательной к окружности, серединного перпендикуляра к отрезку) содержит каждый пункт главы. Основная цель главы 8 – дать учащимся систематизированные сведения об окружности и ее свойствах, вписанной и описанной окружностях (см. Приложение 1).
В конце 8 класса в разделе задач повышенной трудности встречается задача на построение равнобедренной трапеции по основаниям и диагоналям. А также построения встречаются в задачах на повторение.
в) 9 класс: содержит четыре главы. В главе 12 “Длина окружности и площадь круга” в §1 “Правильные многоугольники” рассматривается построение правильных многоугольников. Предлагается с помощью циркуля и линейки вписать в окружность различные правильные многоугольники. Также построения встречаются в задачах не повторение. Основная цель главы 12 – расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках (см. Приложение 1).
В главе 13 “Движения” изучаются симметрии, поворот и параллельный перенос. В конце главы содержатся задачи на построение, решение которых основано на изученном материале. Основная цель главы 13 – познакомить с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом (см. Приложение 1).
2) А.В.Погорелов [5]
а) 7 класс: содержит пять параграфов. В §1 “Основные свойства простейших геометрических фигур” рассматривается, как построить параллельные прямые с помощью угольника и линейки. В §2 “Смежные и вертикальные углы” рассматривается, как построить перпендикулярные прямые с помощью угольника и линейки. §5 “Геометрические построения” содержит пункт “Что такое задачи на построение”, где рассказывается о чертежных инструментах и о том, что значит решить задачу на построение. Схема решения не вводится. В следующих пунктах рассматриваются задачи на построение треугольника с данными сторонами; угла, равного данному; биссектрисы угла; деление отрезка пополам; построение перпендикуляра к прямой. Далее идут пункты “Геометрическое место точек”, в котором вводится определение ГМТ и Теорема о ГМТ, равноудаленных от двух данных точек; а также “Метод геометрических мест”, который раскрывает сущность данного метода. В конце параграфа приводится ряд задач на построение для самостоятельного решения. В основном это задачи на построение треугольника и окружности по данным элементам и задачи на ГМТ. Основная цель §5 – решать простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки (см. Приложение 1).
б) 8 класс: содержит пять параграфов. В конце §6 “Четырехугольники” содержится задача на построении четвертого пропорционального отрезка. Также содержится ряд задач на построение параллелограмма, ромба и трапеции по данным элементам. Основная цель §6 – дать учащимся систематизированные сведения о четырехугольниках и их свойствах (см. Приложение 1). В §9 “Движение” изучаются геометрические преобразования: центральная и осевая симметрии, поворот, параллельный перенос. В конце параграфа приведены задачи на построение, решение которых основано на методах данных преобразований. Основная цель §9 – познакомить учащихся с примерами геометрических преобразований (см. Приложение 1).
в) 9 класс: в §11 “Подобие фигур” изучаются геометрические преобразования: подобие и гомотетия. В конце параграфа приведены задачи на построение, решение которых основано на методах данных преобразований. Основная цель §11 – усвоить признаки подобия треугольников и отработать навыки их применения (см. Приложение 1). В §13 “Многоугольники” рассматриваются построения некоторых правильных многоугольников. В конце имеется пара задач: вписать в окружность n-угольник и описать около окружности правильный n-угольник. Основная цель §13 – расширить и систематизировать сведения о многоугольниках и окружностях (см. Приложение 1).
3) А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [6]
а) 7 класс: содержит три главы. В главе 1 “Начала геометрии” в §5 “Окружность и круг” содержится пункт “Построения циркулем и линейкой”, в котором рассказывается о чертежных инструментах, с помощью которых выполняются задачи на построение. Тут же приводится задача на построение треугольника, стороны которого равны сторонам данного треугольника. Приводится построение, доказательство и исследование, но на общей схеме внимание не заостряется. §6 “Углы” содержит пункт “Построение угла, равного данному, циркулем и линейкой”. Для самостоятельного решения задач нет. В §7 “Действия над углами” рассматривается задача на построение биссектрисы угла, которая решает еще две задачи: в данной точке прямой провести перпендикуляр к ней, построить прямой угол. Также параграф содержит пункт “Задача о делении угла на равные части циркулем и линейкой”, в котором рассказывается о неразрешимости задачи о трисекции угла. Основная цель главы 1 – рассказать о задачах систематического курса геометрии и заложить основу для его построения (см. Приложение 1).
В главе 2 “Треугольники” в §10 “Признаки равенства треугольников” рассматривается задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними. В §11 “Серединный перпендикуляр” первыми пунктами идут задачи о делении отрезка пополам и о построении перпендикуляра к данной прямой через данную точку, не лежащую на данной прямой. В конце параграфа содержится несколько задач на построение. Основная цель главы 2 – развить навыки решения задач на построение с помощью циркуля и линейки, начать знакомство с симметриями фигур (см. Приложение 1).
В главе 3 “Параллельность” в §13 “Параллельные прямые” изучается, как строить параллельные прямые с помощью угольника и линейки. В §14 “Аксиома параллельности” рассматривается задача о построении треугольника по стороне и двум прилежащем к ней углам.
б) 8 класс: содержит три главы. В главе 5 “Метрические соотношения в треугольнике” в § “Применение теоремы Пифагора” содержится пункт “Геометрическое место точек”, где объясняется, что значит, когда про фигуру говорят, что она является ГМТ, обладающих данным свойством. Также приводятся примеры, каким ГМТ являются биссектриса и серединный перпендикуляр. Параграф содержит такие задачи как, например, найти ГМТ, равноудаленных от прямой на данное расстояние; найти ГМТ, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.
в) 9 класс: содержит две главы. В главе 7 “Многоугольники и окружности” в задачах для самостоятельного решения к §31 “Хорды и касательные” содержатся задача на нахождение ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом; задача на построение касательной к окружности из данной точки, общей касательной к двум окружностям. §33 “Правильные многоугольники” содержит пункт “Построение правильных многоугольников” с помощью циркуля и линейки. Также в нем рассказывается о том, что циркулем и линейкой могут быть построены не все правильные n-угольники, а только те, у которых n имеет определенное разложение. Предлагается решить задачи: вписать в окружность различные правильные n-угольники. В §35 “Площадь круга” рассказывается о неразрешимой задаче о квадратуре круга.
В главе 8 “Другие методы геометрии” в §36 “Метод координат” содержится пункт “Окружность Аполлония”, где решение задачи о ГМТ, отношение расстояний от которых до двух данных точек есть постоянная величина. В §40 “Виды движений” рассматриваются “Метод параллельного переноса”, “Метод симметрии” и “Метод поворота”. Приводятся примеры задач на построение, решение которых основано на данных методах. В задачах для самостоятельного решения к §40 содержатся задачи на отработку изученных методов, в том числе задачи на построение трапеции и треугольника по данным элементам. В §42 “Подобие” рассматривается “Метод подобия”. В качестве примера приводится задача на построение четвертого пропорционального отрезка. В задачах для самостоятельного решения к §42 содержатся задачи на отработку изученного метода, в том числе задачи на построение прямоугольного треугольника по отношению катетов к гипотенузе и по отношению катетов к периметру. А также задачи: построить квадрат, вписанный в треугольник, ромб, сегмент; построить сегмент, вписанный в равносторонний треугольник, квадрат, окружность. Основная цель главы 8 – познакомить учащихся с методами, отсутствовавшими в классической элементарной геометрии, но играющими в современной геометрии ведущую роль: методом координат, векторным методом, методом преобразований (см. Приложение 1).