Приведем примеры упражнений, направленных на выделение логической составляющей изучаемого материала в соответствии со вторым уровнем организации деятельности учащихся.
ПРИМЕР: При изучении равнобедренного и равностороннего треугольника наряду с другими заданиями можно предложить учащимся следующие вопросы:
– Верно, ли сформулировано определение: треугольник, у которого две стороны равны и два угла равные, называется равнобедренным?
– Верно ли, что все треугольники являются равнобедренными или равносторонними?
–Верно ли, что каждый равносторонний треугольник является равнобедренным, некоторые равнобедренные треугольники являются равносторонними?
–Какими могут быть неравносторонние треугольники?
– Верно, ли сформулировано предложение: биссектриса угла равнобедренного треугольника является его медианой и высотой?
В качестве примера приема в рамках третьего из выделенныхранее уровней рассмотрим прием по распознаванию признаков и свойств понятий. Актуальность изучения приема в явном виде диктуется большим количеством ошибок по смешению признаков и свойств понятий. Ошибки допускаются не только начинающими изучать курс геометрии, но и выпускниками школы. И, напротив, понимание терминов свойство и признак понятия позволяет учащимся выяснить место каждой теоремы в системе теорем, систематизировать свои знания по каждому понятию, помогает правильно применять изученные теоремы. Ситуации, в которых используются теоремы, различны: свойства понятий используются, когда есть объект, принадлежащий понятию, признаки – когда необходимо под понятие подвести.
Путаница свойств и признаков обусловлена тем, что кроме как в математике и, может быть, еще в медицине термины «свойства» и «признаки» нигде строго не разделяются. Например, в словаре русского языка дается такая формулировка: «Свойство – это качество, признак, составляющий отличительную особенность кого – чего – либо.» (С.И. Ожегов. Толковый словарь. М., 1998.) Или: «Свойство - то, что присуще предметам, что отличает их от других предметов или делает их похожими на другие предметы.» (Н.И. Кондаков. Логический словарь. М., 1971.)
В математике свойства понимаются как необходимые условия существования понятия, признаки – как достаточные или необходимые и достаточные условия существования понятия. В школьном курсе термин признак всегда употребляется как необходимое и достаточное условие.
Ближе всего к школьному пониманию терминов свойство и признак являются следующие определения, на которые можно опереться при разговоре с учащимися. «Свойство – каждая из множества сторон вещи или явления, выявляющаяся во взаимодействии данного предмета с другими.» (Энциклопедический словарь. М., 1964.) «Признак – показатель, примета, знак, по которым можно узнать, определить что-либо». (СИ. Ожегов. Толковый словарь. М., 1996.)
По сути дела свойство понятия, объекта – это все то, что можно сказать об объекте, изучая его. Признаки – это те свойства, условия, по наличию которых объект можно отнести к определенному классу объектов, к понятию.
В качестве примера рассмотрим теорему Пифагора. Теорема описывает прямоугольный треугольник, т. е. является свойством прямоугольного треугольника. Аналогично, теорема «Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия этих многоугольников» описывает имеющиеся подобные многоугольники, т. е. является их свойством.
Рассмотрим формулировку теоремы: «Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом». В этой теореме условие попарного равенства противоположных сторон четырехугольника является приметой, показателем, знаком того, что четырехугольник является параллелограммом.
Условная форма теоремы позволяет определить формально, признаком jcили свойством некоторого понятия является рассматриваемая теорема. Если понятие находится в условии теоремы (если треугольник является прямоугольным, то...), – теорема выражает свойство этого понятия. Если рассматриваемое понятие находится в заключении теоремы (..., то данный четырехугольник является параллелограммом), – теорема является его признаком.
При этом называть теорему признаком или свойством безотносительно к понятию нельзя, т. к. формально каждую теорему можно считать свойством одного понятия и признаком другого. Например, теорема «В подобных треугольниках соответствующие углы равны» является свойством понятия подобные треугольники и признаком равенства углов. Некоторые условия являются как свойствами, так и признаками одного и того же понятия, например, деление диагоналей, пополам в точке их пересечения для параллелограмма.
Как строится теория понятия? Вначале дается формальное определение понятия. Затем из определения получают в качестве его следствий различные свойства понятия. Затем строят обратные предложения к отдельным свойствам и проверяют их истинность. Так получают признаки. Часто для получения признаков используют не одно, а несколько свойств.
Задача преподавания геометрии – развить у учащихся три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление.
Разумеется, в задачи курса геометрии входит: дать учащимся, как это принято говорить, основные знания и умения в области геометрии. Однако все же главные, глубинные задачи преподавания геометрии заключаются в трех указанных элементах...».
Таким образом, А. Д. Александров указывает на три основные задачи преподавания геометрии в средней школе: наряду (точнее, посредством) с изучением основных геометрических фактов и развитием определенных умений и навыков, учащихся главные задачи составляют развитие их пространственного воображения, логического мышления и понимания того, что геометрия изучает, свойства реального мира. Эта точка зрения нашла яркое воплощение в пробных учебниках геометрии, написанных авторским коллективом во главе с академиком А.Д. Александровым.
Программа по геометрии дает такие же целевые установки на преподавание геометрии в средней школе. Таким образом, основными задачами курса геометрии являются:
– систематическое изучение основных фактов геометрии, методов их получения и возможностей их применения;
– развитие умений и навыков учащихся, обеспечивающих применение полученных знаний для изучения смежных дисциплин и в сфере производства;
– развитие пространственного воображения и логического мышления учащихся.
При этом основой для развития пространственного воображения и логического мышления учащихся является овладение ими основными фактами и методами геометрии.
В высказываниях ряда ученых и в учебниках, написанных ими, можно заметить определенные акценты, которые они делают на отдельных задачах преподавания геометрии в школе. Так, у академика А. Д. Александрова – это «лед и пламень» органического единства строгой логики и живого восприятия реального мира.
Академик А. В. Погорелов на первое место ставит развитие логического мышления учащихся. Он пишет: «Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания геометрии в школе – научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать».
Стремлением к форсированному развитию логического мышления учащихся обусловлено в его учебнике «основное учебное требование» доказывать все, особенно в начале обучения; повышенное внимание к строгости доказательств «очевидных» фактов (например, спи манных с отношением «лежать между»); широкое использование способа доказательства от противного с первых шагов обучения; сознательный отрыв мышления от чертежа как «эффективное обучающее средство».
В школьном курсе геометрии выделяют три вида чертежей:
чертежи, иллюстрирующие содержание вводимого понятия;
чертежи, образно представляющие условие задачи или рассматриваемого математического предложения;
чертежи, иллюстрирующие преобразования геометрических фигур.
Мы будем рассматривать главным образом работу с чертежами первых двух видов, поскольку они имеют более общее назначение.
Формируя у учащихся умение, работать с чертежом, учитель должен помнить, что если ограничиваться стандартными чертежами, то школьники достаточно быстро начнут связывать формируемое понятие только с фигурами определенного вида и положения. «Стандартный» чертеж вызывает у учащихся неверные ассоциации, в результате которых в содержание понятия вносятся лишние признаки, являющиеся частными признаками демонстрируемой фигуры.
Эффективность формирования у учащихся понятий, которые можно представить наглядно, в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с ним, т. е. каким оказался первый зрительный образ, ставший затем носителем данного понятия (сила первого впечатления). Поэтому в начале изучения понятия надо показывать как можно больше чертежей, в которых варьируются не существенные признаки понятия.
Конечно, на построение различных вариантов одного и того же чертежа уходит много времени. Рекомендуем поступить следующим образом. Из куска линолеума вырезать круг и закрепить его на классной доске так, чтобы он могвращаться вокруг своего центра. К этому кругу приделать небольшую ручку, с помощью, чертежкоторой можно его поворачивать. Всякий раз уже построенный чертеж учитель захочетпоказать в другом положении, ему останется лишь повернуть круг, на котором чертеж изображен. Это приспособление полезно еще тем, что позволяет внедрять в сознание учащихся ту важную мысль, что при движении сохраняются основные свойства фигур.