Смекни!
smekni.com

Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение (стр. 11 из 28)

Особую актуальность проблема развития логического мышления приобретает в связи с реализацией идей гуманизации и гумантаризации школьного математического образования.

1.4.2. История проблемы развития логического мышления

учащихся.

История проблемы развития логического мышления при обу­чении математике связана определенным образом с проблемами строгости доказательства в самой науке математике/Известные из истории математики первые доказательства таковыми не явля­ются с современной точки зрения. В древней индийской книге Ганеши доказательство формулы площади круга ограничивалось рисунком (см. рис.4) и надписью: «Смотри».

Рис. 4

Логика формальных рассуждений – формальная логика до­шла до настоящего времени из древних времен благодаря рабо­там древнегреческого мыслителя Аристотеля (384-322 гг. до н.э.), в которых разработана теория дедукции, т. е. правил логическо­го вывода, независящих от содержания рассуждений. Аристоте­лю принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в рассуждениях одни предложения выводятся из других независимо от их содержания, в силу своей определенной структуры, формы. Отсюда и название формаль­ной логики.

Формальная логика возникает тогда, когда развитие специ­альных наук и вообще человеческого мышления сделало акту­альным вопрос о том, как надо рассуждать, чтобы получать пра­вильные выводы.

В связи с появлением неэвклидовых геометрий, осознанием проблемы непротиворечивости системы научных знаний возни­кает потребность в совершенствовании аппарата доказательств! В IXX веке в результате применения в формальной логике мате­матических методов возникает математическая логика.

Математическая логика существенно обогатила курс фор­мальной логики, введя большую строгость в математические доказательства на основании новых требований к получению но­вых суждений.

Ответ на вопрос, заниматься ли развитием логического мыш­ления учащихся, отечественные психологи и методисты давали однозначно положительный в отличие от зарубежных, например, Ж. Пиаже, отстаивавшего положение о независимости развития логических структур от обучения.

Методист И.А. Гибш, выделяя аспекты проблемы развития логического мышления, подчеркивал необходимость формирова­ния умений учащихся: по подведению объектов под определение, классификации понятий, выведению следствий из определения, развитию умений пользоваться суждениями и умозаключениями, получать новые умозаключения на основании правил вывода и законов логики, пользоваться терминами «необходимо» и «дос­таточно», использовать различные приемы и виды доказательств. В недалеком прошлом крайнюю точку зрения в плане развития логического мышления учащихся отстаивал методист А. А. Сто­ляр, который считал необходимым на определенном этапе обуче­ния знакомить учащихся с элементами математической логики.

В работе И.Л. Никольской и Е.Е. Семенова выделены зна­ния и умения, которыми, по мнению авторов, выпускник школы должен владеть: уметь правильно формулировать определение знакомого понятия, классифицировать, понимать значение свя­зок «и» и «или», уметь строить отрицание утверждений, содержа­щих кванторы, понимать смысл терминов «если..., то...», «тогда и только тогда, когда», «не более», «не менее» и т. д.

1.4.3. Содержание проблемы развития логического мышления при обучении математике в школе.

Основной задачей формальной логики является отделение пра­вильных способов рассуждения от неправильных. Рассуждение можно считать верным лишь в том случае, если из истинных суж­дений – посылок нельзя получить ложное суждение - ложное заключение. Рассуждение, допускающее получение ложного заклю­чения из истинных посылок, не только не расширяет наши знания об окружающем мире, но доставляет о нем неправильную инфор­мацию. Поэтому такие рассуждения недопустимы.

Совокупность общественной практики, являющейся критери­ем истинности получаемых суждений из имеющихся, вылилась в ряд правил, законов, которые зависят только от формы рассужде­ний, от взаимосвязей составных частей рассуждения, но не от их содержания. Отсюда понятна важность законов и правил выво­да. О формах мышления и правилах вывода не ведется разговора ни в одном школьном предмете, хотя все предметы их широко используют. И это, вероятно, справедливо - не обязательно знать законы пищеварения, чтобы правильно переваривать пищу.

Говоря о логической составляющей в обучении учащихся ос­тановимся на смысле фразы, что логика приводит мысли в поря­док, выясним, какой смысл вкладывал М.В. Ломоносов в извест­ные его слова о том, что математика ум в порядок приводит.

Установить порядок на некотором множестве объектов – зна­чит пронумеровать их. Существуют определения строгого и не­строгого порядков. Можно установить порядок на множестве понятий и на множестве высказываний. Порядок на множестве понятий определяется с помощью отношения «предшествовать». Пример: понятие отрезок предшествует понятию многоугольник. Никакое понятие не предшествует самому себе. Порядок на мно­жестве суждений можно установить с помощью отношения «сле­довать», «быть следствием». Теорема о вписанном угле треуголь­ника следует из теоремы о сумме углов треугольника. Отношение «предшествовать» – отношение строгого порядка, отношение «следовать» – пример отношения нестрогого порядка.

Дедуктивное (аксиоматическое) построение курса математи­ки и есть наведение порядка на множестве понятий и суждений.

Почему важно, чтобы имеющаяся в голове человека информа­ция была упорядочена? На этот вопрос ответ можно найти в рабо­те А.А. Столяра: «Эта информация может оказаться в уме челове­ка неупорядоченной, т.е. размытые знания - изолированными, несвязанными между собой и поэтому малоэффективными в каче­стве исходного материала для получения новых знаний. Во-вто­рых, возможно также, эта информация будет лежать «мертвым грузом», т. е. заполнять лишь память человека, но не преобразо­вываться им, не использоваться для получения новых знаний ло­гическим путем, с помощью рассуждений».

Анализ содержания школьного курса математики позволяет выявить те логические действия, которые выполняются учащи­мися, изучающими дедуктивно построенный математический курс. Номенклатура умений может быть упорядочена следующим образом:

Учащиеся должны уметь:

♦ формулировать определения понятий с использованием раз­личных связок и кванторов;

♦ приводить примеры понятий, подводить объекты под опреде­ления различных логических конструкций;

♦ приводить контрпримеры, т. е. строить отрицание определе­ний различных логических конструкций;

♦ понимать отношения между двумя понятиями;

♦ проводить классификацию известных понятий;

♦ понимать свойства конкретных отношений – рефлективность, симметричность, транзитивность – без употребления соответ­ствующей терминологии;

♦ понимать смысл терминов «следует», «следовательно», «если..., то... »;

♦ выделять условия и заключения теоремы;

♦ строить отрицание утверждений различной структуры;

♦ различать свойства и признаки понятий;

♦ понимать смысл доказательства, различать правдоподобные и дедуктивные рассуждения;

♦ уметь проводить полученное доказательство;

♦ понимать эквивалентность отдельных определений, доказывать это в отдельных случаях;

♦ понимать смысл терминов «хотя бы один», «не более», «не менее», «все», «некоторые»;

♦ использовать отдельные методы доказательства – метод от противного, полную индукцию, доказательства методом исключения;

♦ понимать основные принципы построения дедуктивной теории.

Овладение перечисленными действиями по упорядочиванию изучаемого материала и является содержанием проблемы развития логического мышления.

1.4.4. Пути решения проблемы развития логического мышления учащихся.

Для решения задач развития логического мышления не требу­ется включения в курс дополнительного математического мате­риала. Задачи развития логического мышления можно ставить и решать на обычном учебном материале.

В системе работы учителя по развитию логического мышле­ния учащихся могут иметь место различные уровни.

I. Отсутствие специально организованной учителем работы по развитию логического мышления. Организационным факто­ром, направляющим в этом случае процесс развитии, является усваиваемое содержание предмета.

II. Организация деятельности учащихся по осознанию логи­ческой составляющей изучаемого содержания с помощью специально подобранных упражнений.

III. Организация специального обучения учащихся усвоению приемов логического мышления в явном виде с выделением их операционных составляющих. Такими приемами могут быть: доказательство методом от противного, подведение под определе­ние, подведение под понятие и многое другое.

Соответственно уровням организации деятельности учащихся происходит усвоение материала на различных уровнях система­тизации его в зависимости от осознания логических взаимосвязей в этом материале.

I. Уровень фрагментарных знаний, отсутствие осознания вза­имосвязей между компонентами системы.

II. Уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

III. Уровень логично организованных знаний.

Последний уровень характеризуется пониманием целостнос­ти системы знаний, пониманием места отдельных элементов сис­темы знаний в этой системе, т. е. систематизацией изученного ма­териала.