Приближенные вычисления в расчетных химических задачах (стр. 3 из 3)

Так как наиболее точное число имеет всего на одну значащую и верную цифру больше, чем наименее точное, то все числа остаются без округления. Считаем на двенадцатиразрядном калькуляторе. После округления полученного числа до числа значащих цифр в наименее точном сомножителе (три) получаем окончательный ответ:

Вычислим массу хлороводорода, используя рассчитанные молярные массы:

При вычислении массы традиционным способом наименее точное число имеет две значащие цифры:

• Мы считаем, что молярные массы веществ лучше брать из справочника. При вычислении необходимо оставлять максимальное число верных десятичных знаков.

Далее определим массу соляной кислоты.

Массовая доля хлороводорода в задаче 1 задана в процентах. Но массовую долю вещества в растворе можно выразить в разных относительных единицах, допускаемых СИ (международной системой единиц) и имеющих соответствующие обозначения: процентах — %, промилле — %о (миллионных долей — млн'¹). Только относительная единица — доля единицы (0,1, 0,125, 1/2 и т. д.) не имеет обозначения. При записи это приводит к путанице.

Если записать, что и>(в-ва) = 0,10 = 10%, то запись будет верной. Поскольку из контекста ясно, что 0,10 — это не просто число и не числовое значение величины массовой доли, а значение этой величины. Запись «10%» означает, что число 10 умножено на значение единицы измерения относительной величины, обозначаемой знаком «%» (1/100), что эквивалентно записи «10 • 1/100». Если же записать просто «0,1», то в этой записи нет контекста, из которого следует, что 0,1 — это значение относительной величины, а не просто число.

Чтобы этой путаницы не происходило, учителя придумали запись, которой традиционно пользуются. Например, для определения массы раствора записывают следующее уравнение:

хотя корректно эта запись должна выглядеть так:

Но тогда возникает вопрос, откуда взялось число 100.

Итак, необходимо рассмотреть, как переводить одни единицы физических величин в другие.

Перевод одних единиц физической величины в другие

Задача 7. Вычислите массу 2 л 30,74%-ного раствора азотной кислоты.

По справочнику находим плотность данного раствора кислоты: 1,185 г/мл. Мы видим, что плотность и обьём заданы в различных единицах. Какие единицы выбрать: литры или миллилитры?

Рассмотрим ситуацию приведения к меньшим единицам, к миллилитрам, с точки зрения уменьшения или увеличения ошибки в расчётах. Коэффициент пропорциональности равен 1000. Мы условились считать коэффициенты точными числами. Поэтому при умножении или делении числа на 1000 точность результата не изменится. Однако опасность заключается в другом — в потере точности в форме записи. l/(HN0₃) = 2 л = 2000 мл. Если число 2 точное, то разницы никакой. Однако если число 2 приближённое, то все нули в числе 2000 — цифры незначащие. Точность такого числа оценивается до тысяч, и об этом надо помнить на всём протяжении решения задачи.

Вычислим массу раствора:

Но этот ответ неверный, так как точность наименее точного числа определена до тысяч. Поэтому окончательный ответ должен быть округлён до тысяч: 2000 г.

Рассмотрим другой вариант, переведём плотность из единицы г/мл в единицу г/л: р = 1,185 г/мл = = 1185 г/л. Вычислим массу:

Поскольку все числа были определены с точностью до целых, то и результат должен быть округлён до целых. Очевидно, что точность результата второго решения выше.

Из этого примера следует правило.

• При решении расчётных химических задач меньшие единицы переводятся в наибольшие, представленные в условии.

Таким образом, меньшую единицу массовой доли — процент — необходимо перевести в большую, т. е. в доли единицы, с соответствующим числом значащих цифр:

Теперь можно рассчитать массу раствора хлороводорода:

Наименее точный сомножитель имеет две значащие цифры, значит, в окончательном ответе должны быть две значащие цифры:

Осталось вычислить объём соляной кислоты по формуле: V = т/р. Следует определить плотность, пользуясь справочником, но для 10%-ного раствора соляной кислоты плотность в справочнике не указана, даны только значения для 9,510%- и 10,52%-ного растворов кислоты. Возникает задача: определить промежуточное значение величины. Это можно сделать с помощью интерполяции данных.

Интерполяция данных

Прибегать к интерполяции школьникам приходится редко, поскольку справочные значения, как правило, задаются в условии, но уметь это делать тем не менее надо.

Используем интерполяционную формулу Лагранжа. Она достаточно громоздка для вычислений вручную, но с помощью компьютерных средств обработки информации можно автоматизировать процесс. Задача была решена с помощью программы Excel, входящей в пакет Microsoft Office.

Необходимо найти плотность раствора в зависимости от массовой доли, т. е. массовая доля есть аргумент, а плотность — функция. В табл. 1 представлены справочные данные зависимости плотности раствора от массовой доли хлороводорода. Полужирным шрифтом выделено значение заданной массовой доли.

На основании этих табличных данных по формуле Лагранжа были вычислены значения искомой плотности, представленные в табл. 2.

Таблица 2

Вычисление многочлена четвёртой и выше степени по формуле Лагранжа даёт необходимую точность, т. е. три десятичные верные цифры, как это указано в справочной таблице.

Как видно из данных табл. 2 (многочлен первой степени, значение 1,0474257426), линейная интерполяция также даёт результат с достаточной точностью. Для вычисления плотности и содержания вещества в растворах по справочным таблицам линейной интерполяции достаточно. Таким образом, искомая плотность соляной кислоты 1,047 г/мл.

• При интерполяции табличных данных в искомом числе надо оставлять столько значащих цифр, сколько их указано в справочной таблице.

Наименее точное число 110 имеет две значащие цифры, значит, число 1,047 округляем до трёх значащих цифр; ответ — до двух значащих цифр:

Таким образом, объём соляной кислоты приблизительно равен 100 мл.

Задача решена, однако ответ должен быть дан с двумя десятичными знаками. Для данной задачи это условие невыполнимо. А в целом подобного рода условия нельзя признать корректными.

Для сравнения решим задачу 1, представив её решение как вычисление значения одного выражения