Приближенные вычисления в расчетных химических задачах (стр. 2 из 3)
В числе 15,9994 отбрасываем третий десятичный знак (9), второй десятичный знак (9) заменяем нулём, но предпоследняя цифра тоже равна 9, её необходимо заменить на нуль. Первая цифра, отличная от 9, равна 5, её мы увеличиваем на единицу. Таким образом, Ar(0) ~ 16,00. Неправильно записать Аг(0) = 16,0 или Д(О) =16, отбросив значащие нули.
Теперь приступим к математическому решению задачи 1.
Вычислим массу питьевой соды в смеси.
Вычислим молярные массы гидрокарбоната натрия (питьевой соды) и хлороводорода, раствор которого представляет собой соляная кислота, или узнаем их из справочника.
Вычислим по уравнению реакции массу хлороводорода.
Вычислим массу соляной кислоты.
Вычислим объём соляной кислоты.
Приближённые вычисления в расчётных задачах
В расчётных задачах по химии подавляющее большинство вычислений не выходят за рамки четырёх действий: сложения, вычитания, умножения, деления.
При формулировании правил будем считать, что в записи числа с наименьшим числом десятичных знаков все десятичные знаки верные.
Правила сложения
Чтобы сложить приближённые числа с различным числом десятичных знаков, достаточно:
• оставить без изменения число, имеющее наименьшее количество десятичных знаков;
• округлить другое слагаемое так, чтобы оно содержало на один знак больше, чем слагаемое, оставленное без изменения;
• найти сумму полученных чисел и округлить её на один знак.
Задача 2. Рассчитайте массу раствора, полученного при смешении 12,4854 г твёрдого гидрок-сида натрия и 120,6 г воды.
Согласно правилам число 120,6 оставляем без изменения, как имеющее наименьшее число десятичных знаков, а число 12,4854 округляем до 12,49. Складываем числа и округляем до одного десятичного знака:
Правила вычитания
Правила вычитания сходны с правилами сложения:
• оставить без изменения число, имеющее наименьшее количество десятичных знаков;
• округлить другое число так, чтобы оно содержало на один знак больше, чем число, оставленное без изменения;
• найти разность полученных чисел и округлить до наименее точного числа.
Задача 3. Найдите массу примесей в 245 г образца, если масса вещества 242,67 г.
Согласно правилам оставляем без изменения число 245, число 242,67 округляем до 242,7, находим разность:
При вычитании может возникнуть ситуация, когда уменьшаемое и вычитаемое близки по значению, тогда разность будет настолько мала, что при округлении обратится в нуль.
Задача 4. Вычислите массу платины в драгоценном сплаве массой 15,26 г, если масса золота в нём составляет 15,2585 г.
Находим разность в соответствии с правилами округления:
После округления результат обратится в нуль, так как точность наименее точного числа составляет два десятичных знака. Однако если в дальнейшем полученное число необходимо использовать в других арифметических действиях, это может привести к принципиально неверным результатам, особенно при умножении и делении.
Поэтому в подобных случаях разность целесообразно округлить до одной значащей цифры, отличной от нуля. В задаче массу платины оставляем равной 0,002 г.
Правила умножения и деления
Чтобы перемножить два числа или разделить одно число на другое, необходимо:
• оставить без изменения наименее точное ЧИСЛО;
• округлить другое число так, чтобы оно содержало на одну значащую цифру больше, чем оставленное без изменения;
• найти произведение или частное и округлить его так, чтобы оно содержало столько значащих цифр, сколько их в наименее точном числе.
Задача 5. Вычислите массу примесей в 246,58 г чистого вещества, если их массовая доля составляет 0,0048.
Точность числового значения массы вещества определена до сотых, но имеет при этом пять значащих цифр, а массовой доли — до десятитысячных, но имеет при этом всего две значащие цифры. Поэтому оставляем число 0,0048 без изменения, округляем число 246,58 до трёх значащих цифр, т. е. до 247, умножаем:
Число 1,18 округляем до двух значащих цифр. Если эту задачу решать в точных числах, то вычисления дадут другой ответ:
Задача 6. Вычислите массу слитка бронзы, если масса олова в нём составляет 0,01266 кг, а массовая доля олова — 0,12.
Оставляем без изменения число с наименьшим числом значащих цифр, т. е. 0,12. Число 0,01266 округляем до трёх значащих цифр, до 0,0127. Находим частное:
Полученную бесконечную периодическую дробь округляем до двух значащих цифр.
При решении в точных числах получим иной ответ:
Вернёмся к решению задачи 1 с учётом правил, приведённых выше.
Вычислим массу соды в смеси. Определим её массу как произведение массы смеси и массовой доли вещества. Но поскольку дана
массовая доля примеси, то для нахождения массы питьевой соды необходимо произвести два действия. Можно сначала вычислить массовую долю вещества как разность, а потом найти массу питьевой соды как произведение или сначала вычистить массу примесей (произведение), а потом — массу питьевой соды (разность).
В подавляющем большинстве расчётных химических задач необходимо совершать множество вычислений. Выражения для определения разных величин можно объединить в одну формулу или производить в несколько действий с вычислением промежуточных результатов.
Правила множественных вычислений
Формулируя правила множественных вычислений, мы исходим из того, что точность ответа не может быть выше точности данных, указанных в условии. Это означает, что в полученном числе должно быть столько верных цифр, сколько их в наименее точном исходном числе.
Если в процессе решения задачи определены все числа, то предварительно, перед выполнением действий, числа можно округлить, руководствуясь следующим правилом.
• Чтобы получить ответ с и верными цифрами в наименее точном числе, необходимо все остальные числовые значения задать с п + 2 верными цифрами. Результаты промежуточных вычислений также должны иметь п + 2 верных цифр.
Если необходимо или возможно объединить несколько арифметических действий в одно, применяется следующее правило.
• Вычисления следует производить последовательно, так как правила вычислений приближённых чисел различны для разных арифметических действий. Можно объединить несколько последовательных действий в одно выражение, если они представляют сложение нескольких чисел, умножение и деление нескольких чисел.В задаче 1 мы столкнулись с необходимостью произвести умножение и вычитание. В соответствии с правилами эти действия следует выполнять последовательно.
Рассмотрим оба способа, чтобы сравнить ответы.
Способ 1. Масса смеси 26,3 г — три значащие цифры, массовая доля примесей 0,026, — две значащие цифры. Согласно правилам умножения оба числа остаются без изменения, умножаем, в ответе оставляем две значащие цифры:
После округления:
Способ 2
w(NaHC03) = 1,000 - 0,026 = 0,974. (Так как 1 — точное число.)
Числа 26,3 и 0,974 имеют одинаковое число значащих цифр, мы их не округляем и находим произведение:
Ответы совпали, но в другом примере они могут и не совпасть.
Теперь определим молярные массы гидрокарбоната натрия и хлороводорода. Их можно найти в справочнике: iW(NaHC03) = = 84,01 г/моль, Jlf(HCl) = 36,46 г/моль. Но традиционно вычисляют суммы молярных масс атомов элементов, составляющих формульную единицу вещества, округляя их до целых, за исключением хлора, относительную атомную массу которого округляют до 35,5 (безо всяких на то оснований). Следует иметь в виду, что при вычислении молярной массы вещества округлять её значение необходимо в соответствии с правилами округления, а именно до наименее точного числа, а не до целых, как обычно.
Так как в числе 1,0079 на один десятичный знак больше, чем в менее точном числе 35,453, то ни одно число не округляют.
По правилам в одном выражении нельзя складывать и умножать, поэтому сначала найдём молярную массу кислорода в питьевой соде как произведение, а потом молярную массу питьевой соды как сумму:
Поскольку наименее точное число 12,011, округлим все остальные числа до четырёх десятичных знаков: 22,9898; 1,0079 и 47,9982. Сумму четырёх слагаемых округлим до трёх десятичных знаков:
Теперь рассчитаем массу хлороводорода, реагирующего с заданной массой питьевой соды. Такие задачи решают, как правило, составлением пропорции:
Это выражение включает умножение и деление, вычислять в два действия не требуется.
Сначала подставим молярные массы, взятые из справочника:
