Особливості вивчення математики в профільних класах у сучасних умовах (стр. 23 из 25)

– Що вивчає планіметрія? Які її найпростіші фігури?

У планіметрії вивчаються фігури на площині. Найпростішими фігурами в планіметрії є точка і пряма.

Ці два поняття належать до первісних понять, яким умовились не давати означень і використовувати їх при означенні інших понять. Наприклад, серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, яка перпендикулярна до цього відрізка і проходить через його середину. Тут серединний перпендикуляр означається через первісне поняття «пряма».

Потреба в первісних поняттях і їх роль в геометрії саме і пов'язані з дедуктивним характером її побудови. Справді, в геометрії кожне нове поняття, крім первісних, означається або на основі первісних, або на основі раніше означених понять. Розглянемо ще один приклад.

– Що називають квадратом?

Як відомо, квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні.

– Через яку фігуру означається прямокутник?

Прямокутник означається через паралелограм, у якого всі кути прямі.

– Дайте означення паралелограма.

Паралелограм означається через чотирикутник.

Маємо ланцюжок понять, який не може бути нескінченним. Тому виникає потреба невелику кількість понять прийняти без означення (первісні поняття), а через них означати інші.

квадрат

прямокутник

паралелограм

первісні поняття

Крім точки і прямої, первісними поняттями планіметрії є поняття „належати” для точок і прямих, „лежати між” – для трьох точок прямої, „довжина відрізка”, „градусна міра кута”. Первісні поняття, як і більшість означуваних, походять від об'єктів, що існують реально, і є абстракцією від них. Наприклад, поняття „площина” походить від реальної поверхні кришки стола або поверхні озера. Однак площину ми уявляємо необмежене продовженою, вона не має товщини.

– Від якого реального об’єкта абстрагують пряму?

Пряма образ туго натягнутої нитки або дроту. Проте пряма в геометрії не має кінців і уявляється необмежене продовженою, вона не має товщини.

Крім первісних і означуваних понять геометрія оперує твердженнями, що виражають властивості понять. Вони бувають двох видів: аксіоми і теореми. Твердження, що виражають властивості найпростіших фігур (первісних понять) і приймаються без доведення, називаються аксіомами. Твердження, що виражають властивості геометричних фігур і доводяться, мають назву теорем. Потреба і роль аксіом теж спричинені дедуктивним характером побудови геометрії. Тут ми маємо аналогічну схему, бо кожне нове твердження доводиться на основі раніше відомого, вже доведеного твердження і т. д. Оскільки ланцюжок тверджень не може бути нескінченним, виникає потреба невелику їх кількість умовитись прийняти без доведення і використовувати при доведенні інших.

– Пригадаємо аксіоми планіметрії, скориставшись для цього таблицею.

– Проаналізуємо означення „Суміжні кути” з погляду того, через які раніше відомі поняття воно формулюється. Пригадаємо його.

Два кути називаються суміжними, якщо одна їх сторона спільна, а інші сторони цих кутів є додатковими півпрямими.

– Через які поняття воно означається?

Воно означається через поняття сторона кута та півпряма.

– Виділимо основні поняття, відношення та величини.

Основні поняття: точка і пряма, основні відношення: лежати між, лежати на, основні величини: градусна міра кута.

– Як висновок, розглянемо наступну схему побудови геометрії.

1. Перелічуються первісні (неозначувані) поняття.

2. Формулюються аксіоми про властивості первісних понять.

3. За допомогою первісних та раніше означених понять формулюються означення нових понять.

4. На основі аксіом, доведених раніше тверджень і означень доводяться нові твердження.

ІІ. Вивчення аксіом стереометрії та наслідків з них.

Стереометрія – це розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі. Найпростішими фігурами простору є:

- точка: А, В, С,...

- пряма: а, в, с,...

- площина:

,..., (АВС).

Термін „стереометрія” походить від гр.

– об'ємний, просторовий і – вимірюю. Оскільки площина – нова найпростіша фігура, то треба сформулювати аксіоми, що виражають властивості площини. Розглянемо три аксіоми стереометрії, зведені в одну таблицю.

Оскільки точка і пряма також є основними фігурами простору, то всі аксіоми планіметрії переходять у стереометрію і система аксіом стереометрії складається з дев'яти аксіом планіметрії і трьох аксіом групи С.

У планіметрії ми мали одну площину, на якій розташовувались всі розглядувані нами фігури. У стереометрії нескінченно багато площин. У зв’язку з цим формулювання деяких аксіом планіметрії в якості аксіом стереометрії вимагають уточнення. Це стосується аксіом IV, VII, VIII, IX.

IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.

VII. Від півпрямої на площині, що її містить, у задану півплощину можна відкласти кут з заданою градусною мірою, меншою 180^○, і лише один.

VIII. Який би не був трикутник, існує рівний йому трикутник у даній площині у заданому розташуванні відносно даної півпрямої у цій площині.

ІХ. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.

Наслідки з аксіом

Теорема 1. Через пряму і точку, що належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Дано: пряма а, точка В

а.

Довести: 1) існує

{а, В};

2)

єдина.

Доведення

1) Виберемо на прямій а довільну точку А. Проведемо пряму в

{А;В} (аксіома І). а і в різні, оскільки В а. За аксіомою С3: а і в визначають площину .

У ході доведення вчитель разом з учнями шляхом системи запитань складає таблицю.

– Яка аксіома стереометрії обґрунтовує можливість проведення площини?

– На яку додаткову побудову наштовхує нас ця аксіома?

– Яка аксіома обґрунтовує можливість проведення прямої?

– Через які точки проведемо ще одну пряму?

– Яка аксіома обґрунтовує можливість вибору точки А?

Твердження	Обґрунтування
1. Виберемо на прямій адовільну точку А2. Через А і В можна провести пряму в3. Прямі а і в різні4. Через прямі а і в можна провести площину 5. Площина проходитьчерез пряму а і точку В	1. За аксіомою про існування точок, які належать прямій2. За аксіомою про можливість проведення прямої через дві точки3. Оскільки точка В не належить прямій а4. За аксіомою про можливість проведення площини через дві прямі, які мають спільну точку5. Тому що проходить через а за побудовою, а через В, тому що В належить в; проходить через в за побудовою

2) Доведемо єдиність (методом від супротивного).

Нехай існує ще одна площина

, що проходить через а і точкуВ. За аксіомою С2: точка В належить прямій а. Це суперечить умові, що В а. Припущення не вірне.

Теорему доведено.

Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

А

|

.

В

|

Наслідок. Пряма і площина