Методические особенности введения показательной функции в курсе математики средней школы (стр. 4 из 6)

Степень с рациональным показателем является наиболее важным этапом изучения степенной функции

, где x>0, α , и наиболее трудным для восприятия материалом в школьном курсе алгебры.

Подходы к изучению степенной функции в науке и в школьном курсе математике различны. Существуют различные способы определения степенной функции; наиболее распространенное и наиболее общее из них – аксиоматическое.

Определение. Степенной функцией называется любой непрерывный гамоморфизм группы R в себя, то есть любая функция f, отображающая множество

в себя, обладающая свойствами:

1)

для всех x, y

2)

– непрерывна.

Для некоторых значений α степенная функция допускает продолжение на более широкую область определения, чем

. Например, при на , кроме этого ; если же , где , то только на .

При α>0 можно доказать, что lim

=0 при , поэтому, чтобы не нарушалась непрерывность функции , и в этомслучае полагают, что .

При нечетном

и функция допускает естественное продолжение на всю числовую прямую; при четном n – это невозможно.

Равенство

по сути задает функцию как функцию, обратную функции , поэтому функцию , например, можно считать определенной для всех , а функцию только для неотрицательных .

В общем виде на

не накладывается никакие условия, поэтому функция считается определенной на множестве .

При изучении степенной функции в школьном курсе математики подходят совсем с других позиций: постепенно расширяются значения числа

, причем рассматриваются не функции, например, , , а вводится понятие степени определенного вида.

Получаем следующую последовательность: степень с натуральным показателем (7 класс) – степень с нулевым и целым отрицательным показателем (7 класс) – степень с рациональным нецелым показателем (11 класс) – степень с иррациональным показателем (11 класс).

Основным мотивом введения показателей является выполнение свойств степеней.

, .

Такое расмотрение приводит к ограничениям на

и . Подход достаточно естественный и мотивированный, но только до момента рассмотрения степени с рациональным показателем.

Введению степени с рациональным показателем в школьном курсе математики предшествует рассмотрение действий с корнями. Уже на этом этапе проявляются разногласия автором различных учебников и учебных пособий по математике. Большинство из них определяют корень n – ой степени из положительного числа

для всех (например, «Математика в понятиях, определениях и терминах» из серии «библиотека учителя математики», учебники по математике К.О. Ананченко и др.). Авторы же учебного пособия по алгебре для 11 класса дают следующее определение.

Пусть k – целое число, n – натуральное число, не равное 1. Степенью положительного числа

с рациональным показателем называется положительный корень n – ой степени из числа .

.

Такие разногласия вряд ли желательны, поэтому учителю приходится объяснять, что при n=1 получаем равенство.!!!!!

Некоторые задания авторов данного учебного пособия сформулированы, с нашей точки зрения, некорректно. Например, задание 1.134: Запишите корни в виде степени с рациональным показателем:

, , .

Выполнить это задание можно только для первого примера, во всех остальных случаях выражения имеют смысл при всех значениях переменных (в последнем примере

), переход от корней к степеням с рациональным показателем сужает область значений, при которых выражения имеют смысл.

Невозможно выполнить и упражнение 1.138.

Вычислите 8)

, так как выражение не имеет смысла.

Возникает также правомерный вопрос: почему степень с рациональным нецелым показателем определяется только для положительного числа

. Возникает мысль, что можно было бы разделить рациональные не целые показатели на две группы: p – целое число, q – натуральное нечетное число и вторая группа – p – целое число, q – натуральное нечетное число, и получить различные ограничения на переменную , например, , где , но , где не понятно, почему .

Учащимся можно пояснить, что без ограничения

невозможно бы провести цепочку преобразований, например, следующих: .

Такие пояснения делают для учащихся более понятным, почему при рассмотрении степени с рациональным нецелым показателем основание должно быть положительным, и при каком показателе основание может быть равным нулю. Хорошо бы также привести и графическую иллюстрацию, показать, что область определения функции

– вся числовая прямая, область определения функции – множество неотрицательных чисел.