Методика обучения решению задач на построение сечений многогранников в 10-11 классах (стр. 3 из 4)

Рис. 6

Для закрепления решения этой задачи можно предложить следующую систему задач:

Плоскость задана тремя точками, расположенными на смежных боковых ребрах пирамиды (призмы). Найти линию пересечения этой плоскости с плоскостью нижнего основания.

Плоскость задана тремя точками, расположенными на не смежных боковых ребрах пирамиды, в основании которой лежит четырехугольник. Найти линию пересечения этой плоскости с плоскостью нижнего основания.

Плоскость задана тремя точками, две из них расположены на смежных боковых ребрах пирамиды, а третья – на боковой грани пирамиды. Найти линию пересечения этой плоскости с плоскостью нижнего основания.

Дана четырехугольная пирамида SABCD. Построить линию пересечения двух ее граней ASB и CSD

Дана четырехугольная призма ABCDABCD. Найти линию пересечения плоскости, заданной точками В,К,L, где В-вершина основания, точка K принадлежит ребру DD1,точка L принадлежит ребру CC1,с плоскостью A1B1C1D1.

Точки О и О1 являются точками пересечения диагоналей оснований куба. Найти линии пересечения плоскости, заданной точками О, О1,С с боковыми гранями.

Дано SABCD - пирамида. Точка Н- середина DC. Найти линию пересечения плоскости, заданной точками A,H,S,с плоскостью SBC.

Но для полноценного решения задач на построении полезно на основании двух опорных задач (нахождении точки пересечения с плоскостью и линии пересечения плоскостей) рассмотреть задачи.

Задача 1. Найти точку пересечения плоскости Q, заданной следом ВС и точкой А(А1), с проектирующей прямой DD1 (рис. 7а).

Проводим плоскость R через точку А(А1) и данную прямую DD1 и на линии AM пересечения плоскостей Q и R находим искомую точку Х(Х1).

Рис 7а

Задача 2. Построить точку пересечения треугольника ABC(A1B1C1) с прямой DE (D1E1)

Рис 7б

Находим линию LM пересечения плоскости треугольника ABC с проектирующей плоскостью R, проходящей через данную прямую DE.

В пересечении прямых LМ и DE, лежащих в одной плоскости R, находим искомую точку X, которая на чертеже определяется своим изображением и изображением своей проекции Х1 на плоскость П.

Задача 3. Определить точку пересечения плоскости Q, заданной следом АВ и точкой С, с прямой DE (рис 7в).

Через точку С, принадлежащую плоскости Q, проводим вспомогательную плоскость S, параллельную проектирующей плоскости R, проходящей через данную прямую DE(LC1 || D1E1). Затем находим линию LC пересечения плоскости S с плоскостью Q. Далее строим прямую MX пересечения плоскостей О и R(MX || LC).

Точка X есть искомая точка пересечения, так как она одновременно принадлежит плоскости Q и прямой DE.

Рис 7в

Решением задачи заканчивается обоснование принципов построения прямых, по которым пересекаются плоскости, и точек пересечения прямых и плоскостей. Однако в классе следует решить еще несколько задач, решение которых сводится к построению точек и линий пересечения прямых и плоскостей.

Итак, при изучении задач на построение на проекционном чертеже учащиеся должны знать, что:

Точку пространства считают заданной на проекционном чертеже, если заданы изображение этой точки и изображение се проекции на основную плоскость.

Прямую считают заданной на проекционном чертеже, если заданы две ее точки или если заданы ее изображение и изображение ее проекции на основную плоскость.

Плоскость считается заданной на проекционном чертеже, если заданы три точки этой плоскости, не лежащие на одной прямой, или прямая и точка вне ее, или две пересекающиеся прямые, или две параллельные прямые.

Если все точки, прямые и плоскости изображенной фигуры являются заданными на проекционном чертеже в указанном смысле, то такое изображение называется полным и можно на нем построением отыскать все непустые пересечения прямых и плоскостей изображенной фигуры, т. е. решать различные позиционные задачи.

Решение задач на построение сечений

Работа по ознакомлению учащихся с проекционным чертежом может быть продолжена при обучении решению задач на построение сечений многогранников.

Обучение решению задач на построение сечений можно проводить в следующем плане.

Во-первых, первоначальное ознакомление учащихся с методами построения сечений следует проводить на метрически определенных изображениях. Удобно, например, это проделать на изображении куба и правильного тетраэдра, сопровождая построения на изображении демонстрацией соответствующих отношений на модели. Все это будет способствовать укреплению связи изображения и оригинала.

Во-вторых, точки, определяющие секущую плоскость, следует задавать по возможности при разнообразном взаимном расположении этих точек и многогранника, сечение которого строится.

Рис. 7

На рис.8 Приведена последовательность первых таких задач. Секущая

плоскость на этих чертежах задается точками К(К1), М(М1) и Р(Р).

Рис. 8

При обучении решению как этих задач, так и любой из последующих учащимся следует выделять отдельные этапы решения, представляющие собой известные уже учащимся задачи на проекционном чертеже.

Рис. 9а

Рис. 9 б

Для построения сечения куба, представленного на рис. 9а, достаточно, например, найти точку пересечения ребра СС1 с плоскостью КМР (К1М1 Р1). Метод построения этой точки удобно раскрыть учащимся на примере решения уже известной им задачи: на проекционном чертеже (рис. 9б) построить точку пересечения плоскости β(β1)и проектирующей прямой СС1 На вспомогательном чертеже следует лишь по возможности точно воспроизвести взаимное расположение точек К(К1), M(M1), P(P1) и прямой СС1.

В порядке обеспечения преемственности в решении задач на проекционном чертеже важно подчеркнуть мысль, что в качестве вспомогательной плоскости СС1КК1 могла бы быть принята произвольная плоскость, проведенная через ребро СС1. Вместе с тем учащихся сразу следует приучать к рациональному выбору вспомогательных плоскостей.

При построении сечения куба (рис. 10а) плоскостью КМР (К1М1Р1) не следует препятствовать применению общего метода (рис. 10б). Однако решение этой задачи следует вести до тех пор, пока учащиеся не догадаются, что наиболее подходящей вспомогательной плоскостью будет плоскость грани BB1 CC, (рис. 10в), а не плоскости ВВ1ЕЕ1.

рис. 10а

Рис. 10б рис. 10в

Рис. 11

В то же время для построения сечения правильной шестиугольной призмы, высота которой равна стороне основания, плоскостью КМР (K1M1P1) удобнее принять в качестве вспомогательной плоскость ВВ1ЕЕ1 (рис. 11). В этом случае с помощью одной вспомогательной плоскости одновременно строятся точки пересечения секущей плоскости с двумя ребрами призмы.

Такой подход к решению задач на построение сечений дает надежное общее средство решения этих задач и позволяет развивать изобретательность учащихся при отыскании частных приемов.

Важный момент обучения решению задач на построение сечений при рассматриваемой методике составляет выделение в условии задач элементов, задающих секущую плоскость. Если условием задачи секущая плоскость задана точкой и прямой, или пересекающимися прямыми, или параллельными прямыми, то, выбирая на них три точки, сводим решение задачи к построению сечения плоскостью, заданной тремя точками.

При построении сечения правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону верхнего основания и образующей с основанием данный двугранный угол, прежде всего определяется пара пересекающихся прямых, задающих эту плоскость.

Секущая плоскость определяется парой пересекающихся прямых АВ и ММ (рис. 12) и при построении сечения правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через данную точку М1 основания пирамиды, параллельно одной из больших диагоналей основания и

параллельно высоте пирамиды.

Рис. 12

Выделение секущей плоскости — один из важных этапов решения задач на построение сечений.

При решении задач на построение сечений в доходчивой форме удается познакомить учащихся с понятиями полного и метрически определенного изображений, с решением позиционных и метрических задач.

Изображение многогранников вводится как метрически определенное в соответствии с вышеизложенной методикой обучения построению изображений. К понятию полного изображения можно подвести учащихся, если добиться от них понимания, что изображение, построенное по наперед заданному оригиналу, есть в то же время изображение более широкого класса фигур. Учащиеся должны понимать, что изображение, например, правильного тетраэдра является вместе с тем и изображением всех треугольных пирамид. Изображение правильной четырехугольной призмы, высота которой в два раза больше стороны основания, является в то же время и изображением четырехугольных призм, в основании которых, лежит не только квадрат и высота которых не только в два раза больше стороны основания, изображением не только прямых призм, но и наклонных.