Методика обучения решению задач на построение сечений многогранников в 10-11 классах (стр. 2 из 4)

Рассмотрим возможности осуществления этого пути на примере моделей обозначения точек с помощью основной плоскости.

Фиксировав базисные точки, строим моделей обозначения точек изображение точки. Показываем, что на таком чертеже может быть построено, и единственным образом, изображение любой наперед заданной точки оригинала.

Обосновывается и обратное утверждение, что в случае если изображение точки будет представлено вместе с основанием проектирующего отрезка на основной плоскости, то при фиксированном базисе изображение определяет единственную точку.

Как результат проведенных построений дается определение заданной точки: «Точка называется заданной на изображении, если при фиксированных базисах она является изображением единственной точки оригинала».

На построенном нами изображении заданными окажутся не только те точки, изображение которых предварительно было построено по оригиналу, но и те точки, для которых одна из точек плоскости принята за изображение собственно точки оригинала, а другая – за изображение ее основания.

Полученный таким образом проекционный чертеж представляет метрически определенное изображение.

Прямые плоскости оказываются заданными на изображении в том же смысле, что и точка.

Введение проекционного чертежа и решение задач на построение на нем не должно рассматриваться как два отдельных этапа обучения.

Одной из трудностей обучения решению задач на построение на проекционном чертеже является отсутствие в существующей учебной литературе достаточного числа четко выделенных простейших задач, овладение которыми обеспечивало бы понимание учащимися приемов решения более сложных задач. Кроме того, в методике не определилось еще число достаточно принципов, которыми можно было бы руководствоваться при отыскании решения задач.

Достижением осознанного понимания изучаемого материала при любой структуре обучения станет возможным, если решение задач не будет ограничиваться только механическим выполнением построений. От учащихся необходимо требовать устных пояснений по ходу выполняемых построений, аргументированного обоснования их. Следует также добиваться, чтобы и построения, проводимые в контрольных работах, сопровождались письменными объяснениями.

Задачи, решаемые при введении проекционного чертежа

Первой группой таких задач является упражнения, раскрывающие, что неопределенность восстановления оригинала по чертежу устранена на проекционном чертеже. Учитель показывает, что на проекционном чертеже «точка» изображает только точку оригинала, «прямая» - прямую, «плоскость» - плоскость.

На проекционном чертеже становится возможным определять только по изображению взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. В порядке упражнения с учащимися рассматриваются способы изображения различных случаев взаимного расположения точки и основной плоскости.

В ходе упражнений учащимся сообщаются и новые необходимые определения.

В этот период следует дать определения «следа» прямой и заданной плоскости. Определения записываются в тетради.

Определение. Следом заданной прямой (плоскости) на основной плоскости называется точка (прямая) пересечения прямой (плоскости) с основной плоскостью.

В итоге обучения решению этих задач учащихся следует познакомить с двумя принципами, на основе которых выполняется построение точек пересечения прямой с плоскостью и построение прямой, по которой пересекаются плоскости.

1) для построения линий пересечения двух плоскостей достаточно знать две точки прямой, по которой пересекаются плоскости, или одну точку и направление прямой. Точки прямой, по которой пересекаются плоскости, определяются как точки пересечения произвольной прямой одной из заданных плоскостей с другой плоскостью.

2) для построения точки пересечения прямой с плоскостью достаточно построить линию пересечения произвольной вспомогательной плоскости, проведенной через данную прямую, с данной плоскостью. Точка пересечения данной прямой с данной плоскостью определяется как точки пересечения данной прямой с линией пересечения вспомогательной и данной плоскостей.

рис. 4

Задача: Построить точку пересечения данной прямой АВ (А1В1) с основной плоскостью

Решением этой задачи является точка пересечения (если она существует) прямых АВ и А1В1, так как в оригинале эти прямые лежат в одной и той же проектирующей плоскости.

При определении точек пересечения прямых полезно приучать учащихся с первых же шагов рассматривать построения на проекционном чертеже как проекцию соответственных построений в одной из материальных реализаций оригинала и устанавливать принадлежность или непринадлежность рассматриваемых прямых одной и той же плоскости оригинала. В данном случае, например, построение точки пересечения прямых АВ и А1В1 можно рассматривать как проекцию построений на листе фанеры, представляющим проектирующую плоскость АА1ВВ1.

Задача. Построить (рис.5а) точку пересечения произвольно заданной прямой а(а1) с проектирующей плоскостью φ.

Рис.5а

Для решения задачи проводим через заданную прямую а(а1) вспомогательную проектирующую плоскость и строим линию (х) пересечения вспомогательной и заданной проектирующих плоскостей. Точка Х(Х1) —точка пересечения прямых х и а на изображении— является изображением точки пересечения этих прямых, так как в оригинале эти прямые лежат в одной плоскости. Вместе с тем точка Х(Х1) будет точкой пересечения прямой а(а1) с проектирующей плоскостью φ.

В самом деле, точка Х(Х1) принадлежит прямым а(а1) и х. Прямая х, как линия пересечения плоскостей β и φ, принадлежит плоскости φ. Следовательно, и точка X(X1) принадлежит плоскости φ,т.е. действительно точка X(Х1) является точкой пересечения прямой a(a1) и заданной плоскости.

Сначала при выполнении чертежей 'полезно обозначать вспомогательные плоскости обрывами и обрезами так, как это сделано на рис. Позже, чтобы не загромождать чертежа посторонними линиями, от такого обозначения вспомогательных плоскостей следует отказаться и приучить учащихся воображать их.

Для закрепления решения этой задачи можно предложить следующую систему задач:

Точки А1 и В1 расположены на боковых ребрах куба ABCDA1 B1C1D1. Найти точку пересечения прямой (АВ) с плоскостью верхнего и нижнего основания.

Точки А1 и В1 расположены на смежных боковых гранях куба ABCDA1 B1C1D1. Найти точку пересечения прямой (АВ) с плоскостью нижнего основания.

Точки А1 и В1 расположены на двух смежных ребрах пирамиды ABCD. Найти точку пересечения прямой (АВ) с основанием пирамиды.

Даны тетраэдр ABCD и точки M и N, принадлежащие боковым граням. Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC.

Точки Н и К расположены на соответственно на ребрах АВ и АD призмы ABCDA1B1C1D1. найти точку пересечения прямой (HF) с прямой (DC);(DD1).

Точки A1 и B1 расположены соответственно на ребрах АС и АВ пирамиды ABCD.Найти точку пересечения прямой (A1B1) с прямой (ВС).

Дана пирамида ABCDS.Найти точку пересечения прямой (AS) с прямой (ВК), где К-точка принадлежащая ребру CS.

Дана пирамида ABCDS. Найти точку пересечения прямой (АВ) с прямой (DH), где H-середина ребра BC.

Задача: Построить линию пересечения заданных проектирующих плоскостей

Рис. 6а

Пусть проектирующие плоскости заданы проектирующими прямыми АА1 и ВВ1 ТТ1 и РР1. Одной точкой линии пересечения заданных плоскостей будет точка Х1 —точка пересечения следов обеих плоскостей. В оригинале линия пересечения проектирующих плоскостей будет проектирующей прямой, как линия пересечения двух плоскостей, проведенных через параллельные (проектирующие) прямые. Следовательно, и на изображении прямая ХХ1, по которой пересекаются проектирующие плоскости, будет параллельна АА1.

Как решение этой задачи, так и всех остальных следует рассматривать через возможно большую совокупность частных случаев. Проектирующие прямые, определяющие проектирующие плоскости, могут располагаться так, что линия пересечения плоскостей будет находиться либо между одной из пар проектирующих прямых, либо между обеими парами. Проектирующие плоскости следует задавать не только одной парой проектирующих прямых, но и проектирующей прямой и точкой, лежащей в основной плоскости.

Во всех случаях решения следует связывать с построениями в оригинале. Если, например, проектирующую плоскость рассматривать как частокол с плотно примыкающими друг к другу кольями, то учащиеся должны понимать, что линия пересечения будет колом, который находится одновременно и в первой и во второй изгородях. Линию пересечения проектирующих плоскостей можно рассматривать как стык двух листов фанеры, являющихся образами проектирующих плоскостей.

Задача: Построить линию пересечения двух произвольно заданных плоскостей

Решение задачи в соответствии с выставленными принципами, понимание которых учащимся к этому моменту должно быть.подготовлено, не должно уже вызывать затруднений..В одной из заданных плоскостей (рис.5), например в плоскости φ(φ1), берутся две произвольные вспомогательные прямые а(а) и в(в) и строятся точки — точки Х(Х1) и Y(Y1) — пересечения этих прямых с плоскостью β(β1). Прямая XY(X1Y1)— искомая.

Рис. 5

В повседневной практике в качестве вспомогательных прямых выбирают те, которые имеются уже на чертеже: следы плоскостей, прямые, определяемые точками, задающими плоскость. Одна точка линии пересечения плоскостей, заданных на рис. 6, определяется как точка пересечения следов плоскостей — точка Х(Х1). В качестве второй вспомогательной прямой а(а,) взята прямая, лежащая в проектирующей плоскости РP1 ТT1.