Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии (стр. 8 из 11)
Решение. Sосн = Sсеч ∙ cos 60,
Sсе ч= 
=100 (см 2).
17. Дана n-угольная призма. Найти сумму величин ее плоских углов.
Решение. Найдем сумму плоских углов двух оснований и всех боковых граней: 180(n- 2) ∙2 + 360n= 360n- 720 + 360n= 720(n- 1).
2)Задачи на исследование.
1. Поставьте куб так, чтобы ни одна грань не была вертикальной. Будут ли тогда у него горизонтальные грани?
Ответ: нет.
2. Можно ли куб с ребром в 7 см оклеить листом бумаги в виде прямоугольника шириной14 см и длиной в 21 см?
Решение. Для оклейки нужны 6 квадратов со стороной 7 см. Данный прямоугольник разрезать на два со сторонами 7 см и 21 см, а потом каждый из них - на три квадрата со стороной 7 см. Получим 6 нужных квадратов, которыми можно оклеить куб.
3. Сколько нужно взять прямоугольников и каким свойством они должны обладать, чтобы из них можно было составить прямоугольный параллелепипед?
Решение. Два прямоугольника для оснований со сторонами а и b, четыре прямоугольника для боковой грани. Из них два со сторонами с и а и два со сторонами с и b.
4. Установите, прямой или наклонной является призма, у которой две смежные боковые грани перпендикулярны основанию.
Решение. Призма является прямой. Две смежные боковые грани пересекаются по прямой, перпендикулярной плоскости основания. Остальные ребра параллельны данному ребру и, следовательно, тоже перпендикулярны основанию.
5. Исследуйте, существует ли призма, имеющая 50 ребер? 54 ребра?
Решение. Число ребер n-угольной призмы 3n, поэтому призмы, имеющей 50 ребер, не существует, а 54 ребра имеет 18-угольная призма.
6. Какой многоугольник лежит в основании призмы, если она имеет nграней?
Решение. Число сторон многоугольника, лежащего в основании, равно числу боковых граней призмы. Из условия следует, что это число равно n- 2, так как в призме две грани являются основаниями. Таким образом, в основании (n - 2)-угольник.
3)Задачи на доказательство.
1. В параллелепипеде диагонали основания равны, а боковое ребро перпендикулярно двум смежным сторонам основания. Докажите, что параллелепипед прямоугольный.
Доказательство. В основании - параллелограмм с равными диагоналями, т.е. прямоугольник, а боковое ребро перпендикулярно основанию по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Докажите, что число ребер призмы кратно 3.
Доказательство. В n-угольной призме боковых ребер n, а ребер нижнего и верхнего оснований 2n, всего 3n ребер.
3. Докажите, что сумма двугранных углов при всех боковых ребрах четырехугольной призмы равна 360".
Доказательство. Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы. В сечении - четырехугольник, сумма его углов S = 180°(4 - 2) = 360°.
4. Если призма имеет 18 граней, то в ее основании лежит 16-угольник. Докажите.
Доказательство. У призмы две грани оснований и, значит, боковых граней 16. Следовательно, в основании 16-угольник.
5. В кубе из вершины N проведены диагонали граней NE, NF, NK Концы их соединены отрезками (рис. 4.7). Докажите, что многогранник NEFK - правильный тетраэдр.
6. Если две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов их площадей равна квадрату площади третьей боковой грани (рис. 4.8). Докажите.7. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным пятиугольником.
Доказательство. Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника никакие две стороны не параллельны.
4)Задачи на построение
Сечения можно рисовать на заранее подготовленном изображении призмы.
1. Постройте сечение куба в виде: а) треугольника, б) четырехугольника, в) пятиугольника, г) шестиугольника.
2. Постройте плоскость, проходящую через сторону нижнего основания треугольной призмы. Какие многоугольники получаются в сечении призмы при вращении этой плоскости вокруг стороны?Ответ: сечение может иметь форму
треугольника, трапеции.
3. В правильной треугольной призме плоскость сечения ВСМ образует с плоскостью основания двугранный угол α (рис. 4.9). Постройте линейный угол этого двугранного угла. Дайте объяснения.Построение. Проведем из вершины Aправильного треугольника АВС высоту АК. Точка Kпринадлежит ребру ВС. Соответственно отрезок МК перпендикулярен ребру ВС. Угол МКА - искомый.
4. В основании прямой призмы (рис. 4.10) лежит равнобедренная трапеция. Сечение ABC1D1образует с плоскостью основания двугранный угол α. Постройте его линейный угол. Построение. Это угол между высотами трапеций ABCDи ABC1D1проведенными из их общей вершины тупого угла. (Используем теорему о трех перпендикулярах.)5. Сечение BCD1A1 прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.11) образует с плоскостью основания двугранный угол β. Как построить его линейный угол? Построение. Следует использовать теорему о трех перпендикулярах. Искомый угол - это угол между диагональю А1В (или D1C) .боковой грани и стороной основания АВ (или CD), лежащей в этой грани.
4.2 Задачи по теме «Пирамида».
1)Задачи на вычисление
1. В правильной четырехугольной пирамиде высота составляет с боковой гранью угол, равный 37°. Найдите угол между апофемами противоположных боковых граней.
Ответ: 74°.
2. Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
Ответ: 30°.
3. Периметр основания пирамиды равен 20 см, а площадь ее основания 16 см2. Найдите периметр и площадь сечения пирамиды, проведенного параллельно основанию через середину бокового ребра.
Ответ:10 см, 4 см2.
4. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в основании, и равны 12 см. Вычислите высоту пирамиды.
Ответ: 6
см.5. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 20 см, оно составляет с основанием угол 45°. Определите расстояние от центра основания до бокового ребра.
Решение. Искомое расстояние d равно длине высоты, опущенной из вершины равнобедренного прямоугольного треугольника на гипотенузу, которой является боковое ребро, d = 10 см.
Ответ: 10 см.
6. Используя рис. 4.12, на котором изображена правильная треугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл. 1 и табл. 2.
Таблица 1
| № | а | b | h | k | β |
| 1 | 6 | 4 | |||
| 2 | 12 | 45° | |||
| 3 | 4 | 60° | |||
| 4 | 4 | 2  |
Таблица 2
| № | а | k | h | b | α |
| I | 2 | | |||
| 2 | 1 | 45° | |||
| 3 | 4 | 2 | |||
| 4 | 4 | 60° |
Указание. Перед решением задачи следует повторить и затем записать на доске формулы
NC=
, ON= 
, OC= 
7. Используя рис. 4.13, на котором изображена правильная четырехугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл. 3 и табл. 4.Таблица 3
| № | а | k | h | b | α |
| 1 | 2 | | |||
| 2 | 2  | 45° | |||
| 3 | 6 | 3 | |||
| 4 | 4 | 30° |
Таблица 4
| № | а | b | h | k | β |
| 1 | 4 | 60° | |||
| 2 | 2 | 45° | |||
| 3 | 8 | 4 | |||
| 4 | 4 | 8 |
Указание. Перед решением этой задачи следует повторить и затем записать на доске формулы
AC=
, ON= 
, OC= 